Analysis Beispiele

$\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} 7 \cot^{2} (x) d x$

Schritt 1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \cot^{2} (x) d x$

Schritt 2

Schreibe $\cot^{2} (x)$ in $- 1 + \csc^{2} (x)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$7 \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 + \csc^{2} (x) d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$7 (\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} - 1 d x + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Schritt 4

Wende die Konstantenregel an.

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + \int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} \csc^{2} (x) d x)$

Schritt 5

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$7 (- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}} + - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Kombiniere $- x]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ und $- \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}}$ .

$7 (- x - \cot (x)]_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{2}})$

Schritt 6.2

Berechne $- x - \cot (x)$ bei $\frac{π}{2}$ und $\frac{π}{6}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - \cot (\frac{π}{2}) - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Schritt 6.3

Vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{2})$ ist $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \cot (\frac{π}{6})))$

Schritt 6.3.2

Der genau Wert von $\cot (\frac{π}{6})$ ist $\sqrt{3}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Schritt 6.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} + 0 - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Schritt 6.3.4

Addiere $- \frac{π}{2}$ und $0$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$

Schritt 6.3.5

Um $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 6.3.6

Kombiniere $- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ und $\frac{2}{2}$ .

$7 (- \frac{π}{2} + \frac{- (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2})$

Schritt 6.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$7 \frac{- π - (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}) \cdot 2}{2}$

Schritt 6.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$7 \frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.3.9

Kombiniere $7$ und $\frac{- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})}{2}$ .

$\frac{7 (- π - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.3.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- π$ heraus.

$\frac{7 (- (π) - 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.3.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{7 (- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Schritt 6.3.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (π) - (2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ heraus.

$\frac{7 (- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Schritt 6.3.13

Schreibe $- (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ als $- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))$ um.

$\frac{7 (- 1 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3})))}{2}$

Schritt 6.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6} - \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

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Schritt 6.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7 (π + 2 (- \frac{π}{6}) + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.4.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{π}{6}$ in den Zähler.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{6} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.4.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 (3)} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{7 (π + 2 \frac{- π}{2 \cdot 3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} + 2 (- \sqrt{3}))}{2}$

Schritt 6.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{7 (π + \frac{- π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{7 (π - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.5

Um $π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.6

Kombiniere $π$ und $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{7 (\frac{π \cdot 3 - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.8

Bringe $3$ auf die linke Seite von $π$ .

$- \frac{7 (\frac{3 \cdot π - π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.9

Subtrahiere $π$ von $3 π$ .

$- \frac{7 (\frac{2 π}{3} - 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.10

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7 \frac{2 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.11

Multipliziere $7 \frac{2 π}{3}$ .

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Schritt 6.4.11.1

Kombiniere $7$ und $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{\frac{7 (2 π)}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.11.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} + 7 (- 2 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $7$ .

$- \frac{\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.4.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\frac{14 π}{3} - 14 \sqrt{3}$ und $2$ .

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Schritt 6.4.13.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{14 π}{3}$ heraus.

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} - 14 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6.4.13.2

Faktorisiere $2$ aus $- 14 \sqrt{3}$ heraus.

$- \frac{2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.13.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{7 π}{3} + 2 (- 7 \sqrt{3})$ heraus.

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2}$

Schritt 6.4.13.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.13.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 (1)}$

Schritt 6.4.13.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2 (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Schritt 6.4.13.4.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}}{1}$

Schritt 6.4.13.4.4

Dividiere $\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3}$ durch $1$ .

$- (\frac{7 π}{3} - 7 \sqrt{3})$

Schritt 6.4.14

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{7 π}{3} - (- 7 \sqrt{3})$

Schritt 6.4.15

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{7 π}{3} + 7 \sqrt{3}$

Dezimalform:

$4.79397279 \dots$