Analysis Beispiele

$\int 5 \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Schritt 1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$5 \int \tan (3 x) \ln (\sec (3 x)) d x$

Schritt 2

Sei $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Dann ist $d u_{3} = 3 \tan (3 x) d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{3} = \tan (3 x) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{3} = \ln (\sec (3 x))$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (\sec (3 x))]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = \sec (3 x)$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\sec (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\sec (3 x)$ .

$\frac{1}{\sec (3 x)} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 2.1.3

Schreibe $\sec (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 x)}} \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 2.1.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\cos (3 x)}$ zu dividieren.

$1 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 2.1.5

Mutltipliziere $\cos (3 x)$ mit $1$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\sec (3 x)]$

Schritt 2.1.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \sec (x)$ und $g (x) = 3 x$ .

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Schritt 2.1.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.1.6.2

Die Ableitung von $\sec (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$\cos (3 x) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.1.6.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $3 x$ .

$\cos (3 x) (\sec (3 x) \tan (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Schritt 2.1.7

Differenziere.

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Schritt 2.1.7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.1.7.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) (3 \cdot 1)$

Schritt 2.1.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.1.7.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x) \cdot 3$

Schritt 2.1.7.3.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x)$ .

$3 \cdot (\cos (3 x) \sec (3 x) \tan (3 x))$

Schritt 2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 2.1.8.1

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.8.1.1

Füge Klammern hinzu.

$3 (\cos (3 x) \sec (3 x)) \tan (3 x)$

Schritt 2.1.8.1.2

Stelle $\cos (3 x)$ und $\sec (3 x)$ um.

$3 (\sec (3 x) \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Schritt 2.1.8.1.3

Schreibe $3 \cos (3 x) \sec (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$3 (\frac{1}{\cos (3 x)} \cos (3 x)) \tan (3 x)$

Schritt 2.1.8.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$3 \cdot 1 \tan (3 x)$

Schritt 2.1.8.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Schritt 2.1.8.3

Schreibe $\tan (3 x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$3 \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 2.1.8.4

Kombiniere $3$ und $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ .

$\frac{3 \sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 2.1.8.5

Separiere Brüche.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$

Schritt 2.1.8.6

Wandle von $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ nach $\tan (3 x)$ um.

$\frac{3}{1} \tan (3 x)$

Schritt 2.1.8.7

Dividiere $3$ durch $1$ .

$3 \tan (3 x)$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$5 \int u_{3} \frac{1}{3} d u_{3}$

Schritt 3

Kombiniere $u_{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$5 \int \frac{u_{3}}{3} d u_{3}$

Schritt 4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$5 (\frac{1}{3} \int u_{3} d u_{3})$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $5$ .

$\frac{5}{3} \int u_{3} d u_{3}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{3}$ nach $u_{3}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{3}}^{2}$ .

$\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{5}{3} (\frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C)$ als $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$ um.

$\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} {u_{3}}^{2} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{3}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{3 \cdot 2} {u_{3}}^{2} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{5}{6} {u_{3}}^{2} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u_{3}$ durch $\ln (\sec (3 x))$ .

$\frac{5}{6} \ln^{2} (\sec (3 x)) + C$