Analysis Beispiele

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x$

Schritt 4

Sei $x = \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ positiv ist.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.1

Vereinfache $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\sqrt{\cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Schritt 5.1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sin^{2} (t)}{\cos (t)} \cos (t) d t$

Schritt 5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \sin^{2} (t) d t$

Schritt 6

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (t)$ als $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ neu zu schreiben.

$\int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

Schritt 7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t$

Schritt 8

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

Schritt 9

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

Schritt 10

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

Schritt 11

Sei $u = 2 t$ . Dann ist $d u = 2 d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 11.1

Es sei $u = 2 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 11.1.1

Differenziere $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Schritt 11.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $2 t$ nach $t$ gleich $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 11.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 11.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 11.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Schritt 12

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Schritt 13

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

Schritt 14

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\frac{1}{2} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

Schritt 15

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 16

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 16.1

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

Schritt 16.2

Ersetze alle $u$ durch $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Schritt 16.3

Ersetze alle $t$ durch $\arcsin (x)$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x))) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Kombiniere $\sin (2 \arcsin (x))$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x) - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Schritt 17.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Schritt 17.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\arcsin (x)$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}) + C$

Schritt 17.4

Multipliziere $\frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2})$ .

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Schritt 17.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 17.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\arcsin (x)}{2} - \frac{\sin (2 \arcsin (x))}{4} + C$

Schritt 18

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$

Schritt 19

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x) - \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x)) + C$