Analysis Beispiele

$\int_{2}^{\infty} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t \to \infty} \int_{2}^{t} \frac{5}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Schritt 2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{2}^{t} \frac{1}{(x + 2) \ln^{2} (x + 2)} d x$

Schritt 3

Sei $u_{1} = x + 2$ . Dann ist $d u_{1} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u_{1} = x + 2$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 3.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u_{1} = x + 2$ ein.

$u_{lower} = 2 + 2$

Schritt 3.3

Addiere $2$ und $2$ .

$u_{lower} = 4$

Schritt 3.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u_{1} = x + 2$ ein.

$u_{upper} = t + 2$

Schritt 3.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 4$

$u_{upper} = t + 2$

Schritt 3.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{1}$ , $d u_{1}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{4}^{t + 2} \frac{1}{u_{1} \ln^{2} (u_{1})} d u_{1}$

Schritt 4

Sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Dann ist $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , folglich $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Schritt 4.1.2

Die Ableitung von $\ln (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Schritt 4.2

Setze die untere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = \ln (u_{1})$ ein.

$u_{lower} = \ln (4)$

Schritt 4.3

Setze die obere Grenze für $u_{1}$ in $u_{2} = \ln (u_{1})$ ein.

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Schritt 4.4

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (t + 2)$

Schritt 4.5

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u_{2}$ , $d u_{2}$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Bringe ${u_{2}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Schritt 5.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} 5 \int_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)} {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{2}}^{- 2}$ nach $u_{2}$ gleich $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- {u_{2}}^{- 1}]_{\ln (4)}^{\ln (t + 2)})$

Schritt 7

Berechne $- {u_{2}}^{- 1}$ bei $\ln (t + 2)$ und $\ln (4)$ .

$lim_{t \to \infty} 5 (- \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4))$

Schritt 8

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.1

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t$ ist.

$5 lim_{t \to \infty} - \ln^{- 1} (t + 2) + \ln^{- 1} (4)$

Schritt 8.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t$ sich an $\infty$ annähert.

$5 (- lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (t + 2) + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Schritt 8.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (- lim_{t \to \infty} \frac{1}{\ln (t + 2)} + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Schritt 8.4

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{\ln (t + 2)}$ $0$ .

$5 (- 0 + lim_{t \to \infty} \ln^{- 1} (4))$

Schritt 8.5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 8.5.1

Berechne den Grenzwert von $\ln^{- 1} (4)$ , welcher konstant ist, wenn $t$ sich $\infty$ annähert.

$5 (0 + \ln^{- 1} (4))$

Schritt 8.5.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.5.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (0 + \frac{1}{\ln (4)})$

Schritt 8.5.2.2

Addiere $0$ und $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$5 \frac{1}{\ln (4)}$

Schritt 8.5.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{\ln (4)}$ .

$\frac{5}{\ln (4)}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{5}{\ln (4)}$

Dezimalform:

$3.60673760 \dots$