Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.1.2

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Kosinus stetig ist.

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{\cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.1.5

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\cos (4 - (2 lim_{x \to 2} x)) - lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.1.6

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{\cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.3.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{\cos (4 - 2 \cdot 2) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.3.1.1.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{\cos (4 - 4) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.3.1.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.3.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.2.3.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \ln (2 x - 3)}$

Schritt 1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - 3)}$

Schritt 1.3.1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3)}$

Schritt 1.3.1.3

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3)}$

Schritt 1.3.1.4

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{\ln (2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3)}$

Schritt 1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 \cdot 2 - 1 \cdot 3)}$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.3.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 1 \cdot 3)}$

Schritt 1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{\ln (4 - 3)}$

Schritt 1.3.3.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Schritt 1.3.3.3

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 2} \frac{\cos (4 - 2 x) - 1}{\ln (2 x - 3)} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\cos (4 - 2 x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = 4 - 2 x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 - 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.3.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.3.6

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) (0 - 2) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.3.7

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.3.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x) + 0}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.5

Addiere $2 \sin (4 - 2 x)$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (2 x - 3)]}$

Schritt 3.6

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 2 x - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.6.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Schritt 3.6.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Schritt 3.6.3

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \frac{d}{d x} [2 x - 3]}$

Schritt 3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Schritt 3.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Schritt 3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Schritt 3.10

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}$

Schritt 3.11

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} (2 + 0)}$

Schritt 3.12

Addiere $2$ und $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{1}{2 x - 3} \cdot 2}$

Schritt 3.13

Kombiniere $\frac{1}{2 x - 3}$ und $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \sin (4 - 2 x)}{\frac{2}{2 x - 3}}$

Schritt 4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$lim_{x \to 2} 2 \sin (4 - 2 x) \frac{2 x - 3}{2}$

Schritt 5

Vereinige Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{2 x - 3}{2}$ und $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2} \sin (4 - 2 x)$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{(2 x - 3) \cdot 2}{2}$ und $\sin (4 - 2 x)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to 2} \frac{(2 x - 3) \cdot 2 \sin (4 - 2 x)}{2}$

Schritt 6.2

Dividiere $(2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$ durch $1$ .

$lim_{x \to 2} (2 x - 3) \sin (4 - 2 x)$

Schritt 7

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$lim_{x \to 2} 2 x - 3 \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Schritt 8

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$(lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Schritt 9

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Schritt 10

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)$

Schritt 11

Bringe den Grenzwert in die trigonometrische Funktion, da der Sinus stetig ist.

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)$

Schritt 12

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

Schritt 13

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)$

Schritt 14

Ziehe den Term $2$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$(2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

Schritt 15

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 15.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)$

Schritt 15.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$(2 \cdot 2 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Schritt 16

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(4 - 1 \cdot 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Schritt 16.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$(4 - 3) \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Schritt 16.2

Subtrahiere $3$ von $4$ .

$1 \cdot \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Schritt 16.3

Mutltipliziere $\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$ mit $1$ .

$\sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)$

Schritt 16.4

Multipliziere $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\sin (4 - 2 \cdot 2)$

Schritt 16.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\sin (4 - 4)$

Schritt 16.5

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\sin (0)$

Schritt 16.6

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$0$