Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\frac{π}{3}} \sin (x) \cos^{3} (x) d x$

Schritt 1

Sei $u = \cos (x)$ . Dann ist $d u = - \sin (x) d x$ , folglich $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.1

Es sei $u = \cos (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 1.1.1

Differenziere $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Schritt 1.1.2

Die Ableitung von $\cos (x)$ nach $x$ ist $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Schritt 1.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{lower} = \cos (0)$

Schritt 1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 1.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = \cos (x)$ ein.

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{3})$

Schritt 1.5

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{3})$ ist $\frac{1}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - 1 u^{3} d u$

Schritt 2

Schreibe $- 1 u^{3}$ als $- u^{3}$ um.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - u^{3} d u$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} u^{3} d u$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$- (\frac{1}{4} u^{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $u^{4}$ .

$- (\frac{u^{4}}{4}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Schritt 6

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 6.1

Berechne $\frac{u^{4}}{4}$ bei $\frac{1}{2}$ und $1$ .

$- ((\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4}) - \frac{1^{4}}{4})$

Schritt 6.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- (\frac{{(\frac{1}{2})}^{4}}{4} - \frac{1}{4})$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{4}$

Schritt 7.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{2}$ an.

$- \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{4}$

Schritt 7.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{4}$

Schritt 7.2.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1}{4}$

Schritt 7.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{4}$

Schritt 7.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Schritt 7.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{4}$

Schritt 7.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $16$ .

$- \frac{\frac{1 - 16}{16}}{4}$

Schritt 7.6.2

Subtrahiere $16$ von $1$ .

$- \frac{\frac{- 15}{16}}{4}$

Schritt 7.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{- \frac{15}{16}}{4}$

Schritt 7.8

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- (- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Schritt 7.9

Multipliziere $- \frac{15}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Schritt 7.9.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{15}{16}$ .

$- - \frac{15}{4 \cdot 16}$

Schritt 7.9.2

Mutltipliziere $4$ mit $16$ .

$- - \frac{15}{64}$

Schritt 7.10

Multipliziere $- - \frac{15}{64}$ .

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Schritt 7.10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{15}{64})$

Schritt 7.10.2

Mutltipliziere $\frac{15}{64}$ mit $1$ .

$\frac{15}{64}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{15}{64}$

Dezimalform:

$0.234375$