Analysis Beispiele

$y = \frac{3}{1 + x}$ , $y = 0$ , $x = 0$ , $x = 3$

Schritt 1

Um das Volumen des Körpers zu bestimmen, definiere zuerst die Fläche jeder Scheibe und integriere anschließend über den Wertebereich. Die Fläche jeder Scheibe ist die Fläche eines Kreises mit Radius $f (x)$ und $A = π r^{2}$ .

$V = π \int_{0}^{3} {(f (x))}^{2} d x$ , wobei $f (x) = \frac{3}{1 + x}$

Schritt 2

Vereinfache den Integranden.

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Schritt 2.1

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{1 + x}$ an.

$V = \frac{3^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $3$ mit $2$ .

$V = \frac{9}{{(1 + x)}^{2}}$

Schritt 3

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$V = π (9 \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x)$

Schritt 4

Bringe $9$ auf die linke Seite von $π$ .

$V = 9 π \int_{0}^{3} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Schritt 5

Sei $u = 1 + x$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 5.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $x$ in $u = 1 + x$ ein.

$u_{lower} = 1 + 0$

Schritt 5.3

Addiere $1$ und $0$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $x$ in $u = 1 + x$ ein.

$u_{upper} = 1 + 3$

Schritt 5.5

Addiere $1$ und $3$ .

$u_{upper} = 4$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 4$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$V = 9 π \int_{1}^{4} \frac{1}{u^{2}} d u$

Schritt 6

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.1

Bringe $u^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} {(u^{2})}^{- 1} d u$

Schritt 6.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{2 \cdot - 1} d u$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$V = 9 π \int_{1}^{4} u^{- 2} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 2}$ nach $u$ gleich $- u^{- 1}$ .

$V = 9 π - u^{- 1}]_{1}^{4}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $- u^{- 1}$ bei $4$ und $1$ .

$V = 9 π ((- 4^{- 1}) + 1^{- 1})$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1^{- 1})$

Schritt 8.2.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + 1)$

Schritt 8.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$V = 9 π (- \frac{1}{4} + \frac{4}{4})$

Schritt 8.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = 9 π (\frac{- 1 + 4}{4})$

Schritt 8.2.5

Addiere $- 1$ und $4$ .

$V = 9 π (\frac{3}{4})$

Schritt 8.2.6

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $9$ .

$V = \frac{3 \cdot 9}{4} \cdot π$

Schritt 8.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $9$ .

$V = \frac{27}{4} \cdot π$

Schritt 8.2.8

Kombiniere $\frac{27}{4}$ und $π$ .

$V = \frac{27 π}{4}$

Schritt 9

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$V = \frac{27 π}{4}$

Dezimalform:

$V = 21.20575041 \dots$

Schritt 10