Analysis Beispiele

$f (x) = x^{3} + a x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

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Schritt 1.1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + a x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [a x]$

Schritt 1.1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [a x]$

Schritt 1.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [a x]$ .

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Schritt 1.1.2.1

Da $a$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a x$ nach $x$ gleich $a \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + a \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 x^{2} + a \cdot 1$

Schritt 1.1.2.3

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + a$

Schritt 1.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $3 x^{2} + a$ .

$3 x^{2} + a$

Schritt 2

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $3 x^{2} + a = 0$ .

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Schritt 2.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$3 x^{2} + a = 0$

Schritt 2.2

Subtrahiere $a$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} = - a$

Schritt 2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - a$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x^{2} = - a$ durch $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{- a}{3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} = \frac{- a}{3}$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x^{2} = - \frac{a}{3}$

Schritt 2.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Schritt 2.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 2.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Schritt 2.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Schritt 2.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$

$x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Schritt 3

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 3.1

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Schritt 4

Werte $x^{3} + a x$ an jeden $x$ Wert aus, wo die Ableitung $0$ ist oder nicht definiert ist.

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Schritt 4.1

Berechne bei $x = \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

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Schritt 4.1.1

Ersetze $x$ durch $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(\sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2

Vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ als $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ um.

$\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.2

Wende die Produktregel auf $- \frac{a}{3}$ an.

$\sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.4

Wende die Produktregel auf $\frac{a}{3}$ an.

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.5

Potenziere $3$ mit $3$ .

$\sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.6

Schreibe $- \frac{a^{3}}{27}$ als ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ um.

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Schritt 4.1.2.1.6.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $a^{2}$ aus $a^{3}$ heraus.

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.6.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $27$ heraus.

$\sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.6.3

Ordne den Bruch $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ um.

$\sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.6.4

Stelle $- 1$ und ${(\frac{a}{3})}^{2}$ um.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.6.5

Füge Klammern hinzu.

$\sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.1.8

Kombiniere $\frac{a}{3}$ und $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.1.2.2

Um $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot \frac{3}{3}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 4.1.2.3.1

Kombiniere $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + \frac{a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Schritt 4.1.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + a (\sqrt{- \frac{a}{3}}) \cdot 3}{3}$

Schritt 4.1.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.2.4.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $a (\sqrt{- \frac{a}{3}})$ .

$\frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}} + 3 \cdot (a (\sqrt{- \frac{a}{3}}))}{3}$

Schritt 4.1.2.4.2

Addiere $a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ und $3 a \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

Schritt 4.2

Berechne bei $x = - \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

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Schritt 4.2.1

Ersetze $x$ durch $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

${(- \sqrt{- \frac{a}{3}})}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{- \frac{a}{3}}$ an.

${(- 1)}^{3} {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.2

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- {\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.3

Schreibe ${\sqrt{- \frac{a}{3}}}^{3}$ als $\sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}}$ um.

$- \sqrt{{(- \frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.4

Wende die Produktregel auf $- \frac{a}{3}$ an.

$- \sqrt{{(- 1)}^{3} {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.5

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$- \sqrt{- {(\frac{a}{3})}^{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.6

Wende die Produktregel auf $\frac{a}{3}$ an.

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{3^{3}}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.7

Potenziere $3$ mit $3$ .

$- \sqrt{- \frac{a^{3}}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.8

Schreibe $- \frac{a^{3}}{27}$ als ${(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})$ um.

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Schritt 4.2.2.8.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $a^{2}$ aus $a^{3}$ heraus.

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{27}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.8.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $3^{2}$ aus $27$ heraus.

$- \sqrt{- \frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.8.3

Ordne den Bruch $\frac{a^{2} a}{3^{2} \cdot 3}$ um.

$- \sqrt{- ({(\frac{a}{3})}^{2} \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.8.4

Stelle $- 1$ und ${(\frac{a}{3})}^{2}$ um.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot - 1 \frac{a}{3}} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.8.5

Füge Klammern hinzu.

$- \sqrt{{(\frac{a}{3})}^{2} \cdot (- \frac{a}{3})} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.9

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$- (\frac{a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}) + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.10

Kombiniere $\frac{a}{3}$ und $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} + a (- \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 4.2.2.11

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Schritt 4.3

Liste all Punkte auf.

$(\sqrt{- \frac{a}{3}}, \frac{4 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}), (- \sqrt{- \frac{a}{3}}, - \frac{a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3} - a \sqrt{- \frac{a}{3}})$

Schritt 5