Analysis Beispiele

$\int (5^{5 x + 1} - 15 x^{4}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int 5^{5 x + 1} - 15 x^{4} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 5^{5 x + 1} d x + \int - 15 x^{4} d x$

Schritt 3

Sei $u = 5 x + 1$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = 5 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [5 x + 1]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 3.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 3.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 + 0$

Schritt 3.1.4.2

Addiere $5$ und $0$ .

$5$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int 5^{u} \cdot \frac{1}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Schritt 4

Kombiniere $5^{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{5^{u}}{5} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Schritt 5

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} \int 5^{u} d u + \int - 15 x^{4} d x$

Schritt 6

Das Integral von $5^{u}$ nach $u$ ist $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) + \int - 15 x^{4} d x$

Schritt 7

Da $- 15$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 15$ aus dem Integral.

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 \int x^{4} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $x^{5}$ .

$\frac{1}{5} (\frac{5^{u}}{\ln (5)} + C) - 15 (\frac{x^{5}}{5} + C)$

Schritt 9.2

Vereinfache.

$\frac{1 \cdot 5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Mutltipliziere $5^{u}$ mit $1$ .

$\frac{5^{u}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Schritt 9.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5^{u}$ und $5$ .

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Schritt 9.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5^{u}$ heraus.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Schritt 9.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.2.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 \ln (5)$ heraus.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 (\ln (5))} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Schritt 9.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 5^{u - 1}}{5 \ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Schritt 9.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 15 \frac{x^{5}}{5} + C$

Schritt 9.3.3

Kombiniere $- 15$ und $\frac{x^{5}}{5}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 15 x^{5}}{5} + C$

Schritt 9.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $5$ .

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Schritt 9.3.4.1

Faktorisiere $5$ aus $- 15 x^{5}$ heraus.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5} + C$

Schritt 9.3.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.3.4.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 (1)} + C$

Schritt 9.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{5 (- 3 x^{5})}{5 \cdot 1} + C$

Schritt 9.3.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5}}{1} + C$

Schritt 9.3.4.2.4

Dividiere $- 3 x^{5}$ durch $1$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} + C$

Schritt 9.3.5

Um $- 3 x^{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} - 3 x^{5} \cdot \frac{\ln (5)}{\ln (5)} + C$

Schritt 9.3.6

Kombiniere $- 3 x^{5}$ und $\frac{\ln (5)}{\ln (5)}$ .

$\frac{5^{u - 1}}{\ln (5)} + \frac{- 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Schritt 9.3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5^{u - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Schritt 10

Ersetze alle $u$ durch $5 x + 1$ .

$\frac{5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)}{\ln (5)} + C$

Schritt 11

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{\ln (5)} (5^{5 x + 1 - 1} - 3 x^{5} \ln (5)) + C$