Analysis Beispiele

$x y' = x^{2} \sin (x) + y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} \sin (x) + y$

Schritt 2

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$

Schritt 2.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \sin (x)$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Schritt 2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \sin (x)}{x}$

Schritt 2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 2.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} \sin (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x}$

Schritt 2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x^{1}}$

Schritt 2.4.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \sin (x))}{x \cdot 1}$

Schritt 2.4.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \sin (x)}{1}$

Schritt 2.4.2.5

Dividiere $x \sin (x)$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \sin (x)$

Schritt 2.5

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \sin (x)$

Schritt 2.6

Stelle $y$ und $\frac{- 1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \sin (x)$

Schritt 3

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 1}{x}$ gilt.

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Schritt 3.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Schritt 3.2

Integriere $\frac{- 1}{x}$ .

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Schritt 3.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Schritt 3.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 3.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache.

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Schritt 3.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (x)}$

Schritt 3.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Schritt 3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 1}$

Schritt 3.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 4

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

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Schritt 4.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Schritt 4.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Schritt 4.2.4

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Schritt 4.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Schritt 4.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Schritt 4.2.5.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Schritt 4.2.5.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Schritt 4.2.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Schritt 4.2.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x \sin (x)$ heraus.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\sin (x)))$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \sin (x))$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \sin (x)$

Schritt 5

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \sin (x)$

Schritt 6

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \sin (x) d x$

Schritt 7

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x} y = \int \sin (x) d x$

Schritt 8

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{x} y = - \cos (x) + C$

Schritt 9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 9.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.1.1

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{y}{x} = - \cos (x) + C$

Schritt 9.2

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

Schritt 9.3

Vereinfache.

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Schritt 9.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 9.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (- \cos (x) + C) x$

Schritt 9.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- \cos (x) + C) x$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 9.3.2.1

Vereinfache $(- \cos (x) + C) x$ .

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Schritt 9.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \cos (x) x + C x$

Schritt 9.3.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.3.2.1.2.1

Stelle die Faktoren in $- \cos (x) x + C x$ um.

$y = - x \cos (x) + C x$

Schritt 9.3.2.1.2.2

Stelle $- x \cos (x)$ und $C x$ um.

$y = C x - x \cos (x)$