Analysis Beispiele

$f (x) = 3 x + 8 x^{3} + x^{- 3} + 5 x^{2}$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 3 x + 8 x^{3} + x^{- 3} + 5 x^{2} d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 3 x d x + \int 8 x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Schritt 4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int x d x + \int 8 x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 8 x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Schritt 6

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 \int x^{3} d x + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{- 3} d x + \int 5 x^{2} d x$

Schritt 8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 5 x^{2} d x$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 5 x^{2} d x$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + \int 5 x^{2} d x$

Schritt 10

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 5 \int x^{2} d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 5 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 8 (\frac{x^{4}}{4} + C) - \frac{1}{2} x^{- 2} + C + 5 (\frac{x^{3}}{3} + C)$

Schritt 12.2

Vereinfache.

$\frac{3 x^{2}}{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + 5 \frac{x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.3

Kombiniere Brüche.

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Schritt 12.3.1

Kombiniere $5$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{5 x^{3}}{3} + C$

Schritt 12.3.2

Stelle die Terme um.

$\frac{3}{2} x^{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{5}{3} x^{3} + C$

Schritt 13

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 3 x + 8 x^{3} + x^{- 3} + 5 x^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{2} x^{2} + 2 x^{4} - \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{5}{3} x^{3} + C$