Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{3} - x y$

Schritt 1

Addiere $x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + x y = x^{3}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = x$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int x d x}$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{\frac{1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\frac{1}{2} x^{2}}$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren in $e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + e^{\frac{x^{2}}{2}} (x y) = e^{\frac{x^{2}}{2}} x^{3}$ um.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} \frac{d y}{d x} + x y e^{\frac{x^{2}}{2}} = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] = x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{\frac{x^{2}}{2}} y] d x = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int x^{3} e^{\frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Sei $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Dann ist $d u = x d x$ , folglich $\frac{1}{x} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.1.1

Es sei $u = \frac{x^{2}}{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.1.1.1

Differenziere $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 7.1.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 7.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (2 x)$

Schritt 7.1.1.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1.1.4.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x$

Schritt 7.1.1.4.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x$ .

$\frac{2 x}{2}$

Schritt 7.1.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.1.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2}$

Schritt 7.1.1.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x$

Schritt 7.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {\sqrt{2 u}}^{2} e^{u} d u$

Schritt 7.2

Schreibe ${\sqrt{2 u}}^{2}$ als $2 u$ um.

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Schritt 7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 u}$ als ${(2 u)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {({(2 u)}^{\frac{1}{2}})}^{2} e^{u} d u$

Schritt 7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} e^{u} d u$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{\frac{2}{2}} e^{u} d u$

Schritt 7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int {(2 u)}^{1} e^{u} d u$

Schritt 7.2.5

Vereinfache.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = \int 2 u e^{u} d u$

Schritt 7.3

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \int u e^{u} d u$

Schritt 7.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int w d v = w v - \int v d w$ , mit $w = u$ und $dv = e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - \int e^{u} d u)$

Schritt 7.5

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - (e^{u} + C))$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (u e^{u} - e^{u}) + C$

Schritt 7.7

Ersetze alle $u$ durch $\frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2}}{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Kombiniere $\frac{x^{2}}{2}$ und $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 (\frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} - e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Schritt 7.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Schritt 7.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = 2 \frac{x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}}}{2} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Schritt 7.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} + 2 (- e^{\frac{x^{2}}{2}}) + C$

Schritt 7.8.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{x^{2}}{2}} - 2 e^{\frac{x^{2}}{2}} + C$

Schritt 7.9

Stelle die Terme um.

$e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ durch $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{\frac{x^{2}}{2}} y = x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}} - 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}} + C$ durch $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} y}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ und $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Faktorisiere $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ aus $x^{2} e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ heraus.

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 8.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.1.2.4

Dividiere $x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ durch $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 8.3.1.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.2.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = x^{2} e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $0$ .

$y = x^{2} e^{\frac{0}{2}} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.4

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y = x^{2} e^{0} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.5

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = x^{2} \cdot 1 + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.6

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ und $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ .

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Schritt 8.3.1.7.1

Faktorisiere $e^{\frac{x^{2}}{2}}$ aus $- 2 e^{\frac{1}{2} x^{2}}$ heraus.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.7.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{2} + \frac{e^{\frac{x^{2}}{2}} (- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}})}{e^{\frac{x^{2}}{2}} \cdot 1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = x^{2} + \frac{- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}}{1} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.7.2.4

Dividiere $- 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}}$ durch $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.1.8.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ heraus.

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Schritt 8.3.1.8.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $\frac{1}{2} x^{2} \cdot 2$ heraus.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) - x^{2}}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.8.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.8.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.3.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (\frac{1}{2} \cdot 2 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} (1 - 1)}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.8.3

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{x^{2} \cdot 0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.9

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $0$ .

$y = x^{2} - 2 e^{\frac{0}{2}} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.10

Dividiere $0$ durch $2$ .

$y = x^{2} - 2 e^{0} + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.11

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$

Schritt 8.3.1.12

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$y = x^{2} - 2 + \frac{C}{e^{\frac{x^{2}}{2}}}$