Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x {(2 x - 1)}^{5}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x {(2 x - 1)}^{5} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 2 x - 1$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) u^{5} \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $u^{5}$ .

$y + C_{1} = \int (\frac{u}{2} + \frac{1}{2}) \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \int \frac{u}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{u}{2}$ mit $\frac{u^{5}}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u \cdot u^{5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 2.3.3.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{1} u^{5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 2.3.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{1 + 5}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 2.3.3.5

Addiere $1$ und $5$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 2.3.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{5}}{2} d u$

Schritt 2.3.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{u^{5}}{2}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{u^{5}}{2 \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.3.8

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} + \frac{u^{5}}{4} d u$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \frac{u^{6}}{4} d u + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Schritt 2.3.5

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \int u^{6} d u + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{6}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{7} u^{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \int \frac{u^{5}}{4} d u$

Schritt 2.3.7

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{4}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \frac{1}{4} \int u^{5} d u$

Schritt 2.3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{5}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{6} u^{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4} (\frac{1}{7} u^{7} + C_{2}) + \frac{1}{4} (\frac{1}{6} u^{6} + C_{3})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{7} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Schritt 2.3.9.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.9.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{4 \cdot 7} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Schritt 2.3.9.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $7$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} u^{6} + C_{4}$

Schritt 2.3.9.2.3

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{1}{6}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{4 \cdot 6} u^{6} + C_{4}$

Schritt 2.3.9.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} u^{7} + \frac{1}{24} u^{6} + C_{4}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u$ durch $2 x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{28} {(2 x - 1)}^{7} + \frac{1}{24} {(2 x - 1)}^{6} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{28} {(2 x - 1)}^{7} + \frac{1}{24} {(2 x - 1)}^{6} + K$