Analysis Beispiele

$y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (x + 6 y^{2})$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x + 6 y^{2})]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x + 6 y^{2})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x + 6 y^{2}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 6 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [6 y^{2}])$

Schritt 2.5

Da $6 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = - 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$1 = - 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $1$ .

$\frac{- 1 - 1}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $y$ .

$\frac{- 1 - 1}{y}$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{y}$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $y$ .

$- \frac{2}{y}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 5.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 5.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Schritt 5.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Schritt 5.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Schritt 5.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Schritt 5.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $y d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $y$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$y \frac{1}{y^{2}} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{1}{y \cdot y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $- (x + 6 y^{2})$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y} d x - (x + 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} d x + (- x - (6 y^{2})) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{y} d x + (- x - 6 y^{2}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6

Mutltipliziere $- x - 6 y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y} d x + \frac{- x - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 6 y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x) - (6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (6 y^{2})$ heraus.

$\frac{1}{y} d x + \frac{- (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.10

Schreibe $- (x + 6 y^{2})$ als $- 1 (x + 6 y^{2})$ um.

$\frac{1}{y} d x + \frac{- 1 (x + 6 y^{2})}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 6.11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y} d x - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = \frac{1}{y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x + C$

Schritt 8.2

Kombiniere $\frac{1}{y}$ und $x$ .

$f (x, y) = \frac{x}{y} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y} + g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x}{y} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{x}{y}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{y}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.3.2

Schreibe $\frac{1}{y}$ als $y^{- 1}$ um.

$x \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$x (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.5.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 11.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} = - \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1.1

Addiere $\frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x}{y^{2}} + \frac{x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x + x + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.3

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.4

Addiere $0$ und $6 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 12.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d y} + \frac{6 y^{2}}{y^{2}} = 0$

Schritt 12.1.1.5.2

Dividiere $6$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 6 = 0$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = - 6$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- 6$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - 6$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 6 d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 6 d y$

Schritt 13.3

Wende die Konstantenregel an.

$g (y) = - 6 y + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{x}{y} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{x}{y} - 6 y + C$