Analysis Beispiele

$(1 - x) d y - (y d) x = 0$

Schritt 1

Addiere $y d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$(1 - x) d y = y d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(1 - x) y}$ .

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 - x$ aus $(1 - x) y$ heraus.

$\frac{1}{(1 - x) (y)} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(1 - x) y} (1 - x) d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(1 - x) y} y d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $(1 - x) y$ heraus.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{y (1 - x)} y d x$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Sei $u = 1 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1

Es sei $u = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4.3.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 4.3.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 4.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 4.3.5

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 4.3.6

Ersetze alle $u$ durch $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | 1 - x |) = C$

Schritt 5.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| y (1 - x) |) = C$

Schritt 5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y \cdot 1 + y (- x) |) = C$

Schritt 5.5

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.5.1

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\ln (| y + y (- x) |) = C$

Schritt 5.5.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\ln (| y - y x |) = C$

Schritt 5.6

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y - y x |)} = e^{C}$

Schritt 5.7

Schreibe $\ln (| y - y x |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | y - y x |$

Schritt 5.8

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1

Schreibe die Gleichung als $| y - y x | = e^{C}$ um.

$| y - y x | = e^{C}$

Schritt 5.8.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y - y x = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.3

Faktorisiere $y$ aus $y - y x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - y x = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y x$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- 1 x) = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- 1 x)$ heraus.

$y (1 - 1 x) = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y (1 - x) = \pm e^{C}$

Schritt 5.8.5

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = \pm e^{C}$ durch $1 - x$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = \pm e^{C}$ durch $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Schritt 5.8.5.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Schritt 5.8.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\pm e^{C}}{1 - x}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{C}{1 - x}$