Analysis Beispiele

$x d y = (x \sin (x) - y) d x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $(x \sin (x) - y) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x d y - (x \sin (x) - y) d x = 0$

Schritt 1.2

Forme um.

$- (x \sin (x) - y) d x + x d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - (x \sin (x) - y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x \sin (x) - y)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- (x \sin (x) - y)$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x \sin (x) - y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x \sin (x) - y]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x \sin (x) - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x \sin (x)] + \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 2.4

Da $x \sin (x)$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x \sin (x)$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [- y])$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.7

Multipliziere.

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Schritt 2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.7.2

Mutltipliziere $\frac{d}{d y} [y]$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$1 = 1$

Schritt 4.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$1 = 1$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x d y$

Schritt 6

Integriere $N (x, y) = x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x y + C$

Schritt 7

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x y + g (x)$

Schritt 8

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - (x \sin (x) - y)$

Schritt 9

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 9.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x y + g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Schritt 9.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Schritt 9.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Schritt 9.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Schritt 9.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y + \frac{d}{d x} [g (x)] = - (x \sin (x) - y)$

Schritt 9.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y + \frac{d g}{d x} = - (x \sin (x) - y)$

Schritt 9.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x) - y)$

Schritt 10

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 10.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 10.1.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.1.1.1

Vereinfache $- (x \sin (x) - y)$ .

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Schritt 10.1.1.1.1

Forme um.

$\frac{d g}{d x} + y = 0 + 0 - (x \sin (x) - y)$

Schritt 10.1.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x) - y)$

Schritt 10.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + y = - (x \sin (x)) - - y$

Schritt 10.1.1.1.4

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 10.1.1.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + y = - x \sin (x) + 1 y$

Schritt 10.1.1.1.4.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d g}{d x} + y = - x \sin (x) + y$

Schritt 10.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.1.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + y - y$

Schritt 10.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- x \sin (x) + y - y$ .

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Schritt 10.1.2.2.1

Subtrahiere $y$ von $y$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x) + 0$

Schritt 10.1.2.2.2

Addiere $- x \sin (x)$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$

Schritt 11

Bestimme die Stammfunktion von $- x \sin (x)$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 11.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - x \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - x \sin (x) d x$

Schritt 11.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - x \sin (x) d x$

Schritt 11.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int x \sin (x) d x$

Schritt 11.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x)$

Schritt 11.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - (x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x)$

Schritt 11.6

Vereinfache.

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Schritt 11.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x)$

Schritt 11.6.2

Mutltipliziere $\int \cos (x) d x$ mit $1$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x)$

Schritt 11.7

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$g (x) = - (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$

Schritt 11.8

Schreibe $- (x (- \cos (x)) + \sin (x) + C)$ als $- (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$ um.

$g (x) = - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Schritt 12

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x y - (- x \cos (x) + \sin (x)) + C$

Schritt 13

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = x y - (- x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Schritt 13.2

Multipliziere $- (- x \cos (x))$ .

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Schritt 13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = x y + 1 (x \cos (x)) - \sin (x) + C$

Schritt 13.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (x, y) = x y + x \cos (x) - \sin (x) + C$