Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{- y}}$ .

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- y}$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $e^{- y}$ aus $e^{- y} \sin (\frac{t}{3})$ heraus.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} (\sin (\frac{t}{3})))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{e^{- y}} (e^{- y} \sin (\frac{t}{3}))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{e^{- y}} \frac{d y}{d t} = \sin (\frac{t}{3})$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{e^{- y}} d y = \sin (\frac{t}{3}) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{e^{- y}} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{- y}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\int 1 {(e^{- y})}^{- 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{- y})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{- y \cdot - 1} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Schritt 2.2.1.2.1.2

Multipliziere $- y \cdot - 1$ .

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Schritt 2.2.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\int 1 e^{1 y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Schritt 2.2.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$\int 1 e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $e^{y}$ mit $1$ .

$\int e^{y} d y = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (\frac{t}{3}) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = \frac{t}{3}$ . Dann ist $d u = \frac{1}{3} d t$ , folglich $3 d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = \frac{t}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $\frac{t}{3}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{t}{3}$ nach $t$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Schritt 2.3.1.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{1}{3}$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \frac{1}{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{3}$ zu dividieren.

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) (1 \cdot 3) d u$

Schritt 2.3.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \sin (u) \cdot 3 d u$

Schritt 2.3.2.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sin (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = \int 3 \sin (u) d u$

Schritt 2.3.3

Da $3$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = 3 \int \sin (u) d u$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$e^{y} + C_{1} = 3 (- \cos (u)) + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (u) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $\frac{t}{3}$ .

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{t}{3}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$e^{y} + C_{1} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = - 3 \cos (\frac{1}{3} t) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (- 3 \cos (\frac{t}{3}) + K)$