Analysis Beispiele

$e^{x} d y + (e^{x} + 1) d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(e^{x} + 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$e^{x} d y = - (e^{x} + 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{e^{x}}$ .

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{e^{x}} e^{x} d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = \frac{1}{e^{x}} (- (e^{x} + 1)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 d y = - \frac{1}{e^{x}} (e^{x} + 1) d x$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$1 d y = (- \frac{1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{e^{x}}$ in den Zähler.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Schritt 3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 d y = (\frac{- 1}{e^{x}} e^{x} - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Schritt 3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}} \cdot 1) d x$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$1 d y = (- 1 - \frac{1}{e^{x}}) d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 4.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - 1 - \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int - 1 d x + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 4.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int - \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 4.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int \frac{1}{e^{x}} d x$

Schritt 4.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.4.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 {(e^{x})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{x \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.4.2.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- 1 \cdot x} d x$

Schritt 4.3.4.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int 1 e^{- x} d x$

Schritt 4.3.4.2.2

Mutltipliziere $e^{- x}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int e^{- x} d x$

Schritt 4.3.5

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.3.5.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 4.3.5.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 4.3.5.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 4.3.5.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - \int - e^{u} d u$

Schritt 4.3.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - x + C_{2} - - \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.7

Vereinfache.

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Schritt 4.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + 1 \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.7.2

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + \int e^{u} d u$

Schritt 4.3.8

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$y + C_{1} = - x + C_{2} + e^{u} + C_{3}$

Schritt 4.3.9

Vereinfache.

$y + C_{1} = - x + e^{u} + C_{4}$

Schritt 4.3.10

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$y + C_{1} = - x + e^{- x} + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - x + e^{- x} + K$