Analysis Beispiele

$2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ , $y (0) = 6$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \frac{d y}{d x} + 4 y = 6 e^{- x}$ durch $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Schritt 1.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{4 y}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Schritt 1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 (1)} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Schritt 1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 (2 y)}{2 \cdot 1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Schritt 1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{2 y}{1} = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Schritt 1.3.2.4

Dividiere $2 y$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{6 e^{- x}}{2}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 e^{- x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2}$

Schritt 1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 (1)}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{2 (3 e^{- x})}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + 2 y = \frac{3 e^{- x}}{1}$

Schritt 1.4.2.4

Dividiere $3 e^{- x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + 2 y = 3 e^{- x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{2 x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{2 x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{2 x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + e^{2 x} (2 y) = e^{2 x} (3 e^{- x})$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = e^{2 x} (3 e^{- x})$

Schritt 3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{2 x} e^{- x}$

Schritt 3.4

Multipliziere $e^{2 x}$ mit $e^{- x}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1

Bewege $e^{- x}$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 (e^{- x} e^{2 x})$

Schritt 3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{- x + 2 x}$

Schritt 3.4.3

Addiere $- x$ und $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$

Schritt 3.5

Stelle die Faktoren in $e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 e^{2 x} y = 3 e^{x}$ um.

$e^{2 x} \frac{d y}{d x} + 2 y e^{2 x} = 3 e^{x}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{2 x} y] = 3 e^{x}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{2 x} y] d x = \int 3 e^{x} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{2 x} y = \int 3 e^{x} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{2 x} y = 3 \int e^{x} d x$

Schritt 7.2

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$e^{2 x} y = 3 (e^{x} + C)$

Schritt 7.3

Vereinfache.

$e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ durch $e^{2 x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{2 x} y = 3 e^{x} + C$ durch $e^{2 x}$ .

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{2 x} y}{e^{2 x}} = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 e^{x}}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $e^{x}$ und $e^{2 x}$ .

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Schritt 8.3.1.1

Faktorisiere $e^{2 x}$ aus $3 e^{x}$ heraus.

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x}} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.1.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{2 x} (3 e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 e^{- x}}{1} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 8.3.1.2.4

Dividiere $3 e^{- x}$ durch $1$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$

Schritt 9

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $6$ für $y$ in $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ ersetzt wird.

$6 = 3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}}$

Schritt 10

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$ um.

$3 e^{0} + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Schritt 10.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Schritt 10.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{C}{e^{2 \cdot 0}} = 6$

Schritt 10.2.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 10.2.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $0$ .

$3 + \frac{C}{e^{0}} = 6$

Schritt 10.2.3.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$3 + \frac{C}{1} = 6$

Schritt 10.2.4

Dividiere $C$ durch $1$ .

$3 + C = 6$

Schritt 10.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 10.3.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 6 - 3$

Schritt 10.3.2

Subtrahiere $3$ von $6$ .

$C = 3$

Schritt 11

Setze $3$ für $C$ in $y = 3 e^{- x} + \frac{C}{e^{2 x}}$ ein und vereinfache.

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Schritt 11.1

Ersetze $C$ durch $3$ .

$y = 3 e^{- x} + \frac{3}{e^{2 x}}$