Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} + y = x$ , $y (1) = 2$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 1.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = x$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int x d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$x y = \int x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $\frac{1}{2} x^{2}$ heraus.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x (\frac{1}{2} x)}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\frac{1}{2} x}{1} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.1.2.5

Dividiere $\frac{1}{2} x$ durch $1$ .

$y = \frac{1}{2} x + \frac{C}{x}$

Schritt 6.3.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$

Schritt 7

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $1$ für $x$ und $2$ für $y$ in $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ ersetzt wird.

$2 = \frac{1}{2} + \frac{C}{1}$

Schritt 8

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$ um.

$\frac{1}{2} + \frac{C}{1} = 2$

Schritt 8.2

Dividiere $C$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} + C = 2$

Schritt 8.3

Bringe alle Terme, die nicht $C$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.3.1

Subtrahiere $\frac{1}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 2 - \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$C = 2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$C = \frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Schritt 8.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C = \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Schritt 8.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.3.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$C = \frac{4 - 1}{2}$

Schritt 8.3.5.2

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$C = \frac{3}{2}$

Schritt 9

Setze $\frac{3}{2}$ für $C$ in $y = \frac{x}{2} + \frac{C}{x}$ ein und vereinfache.

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Schritt 9.1

Ersetze $C$ durch $\frac{3}{2}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{\frac{3}{2}}{x}$

Schritt 9.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 9.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2 x}$