Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} - y = \frac{y}{x}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + y$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Multipliziere $\frac{y}{x} \cdot \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x \cdot x} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1} x^{1}} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{1 + 1}} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Um $\frac{y}{x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.2.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x^{2}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{y}{x}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x \cdot x}$

Schritt 1.2.2.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x}$

Schritt 1.2.2.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Schritt 1.2.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Schritt 1.2.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{y x}{x^{2}}$

Schritt 1.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y + y x}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y + y x$ heraus.

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Schritt 1.2.4.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} + y x}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4.2

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y x}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (x)}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4.4

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 + x)}{x^{2}}$

Schritt 1.2.4.5

Mutltipliziere $y$ mit $1 + x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 + x)}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 + x}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 + x}{x^{2}})$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 + x}{x^{2}}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 + x}{x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.1.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 + x) x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.2

Multipliziere $(1 + x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x \cdot x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.2

Multipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.3.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1} x^{- 2} d x$

Schritt 2.3.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{1 - 2} d x$

Schritt 2.3.3.2.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} + x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int x^{- 1} d x$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $x^{- 1}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \ln (| x |) + C_{3}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y |) - \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Schritt 3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$

Schritt 3.3

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y |}{| x |})} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Schritt 3.4

Schreibe $\ln (\frac{| y |}{| x |}) = - \frac{1}{x} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = \frac{| y |}{| x |}$

Schritt 3.5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$ um.

$\frac{| y |}{| x |} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Schritt 3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y |}{| x |} | x | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Schritt 3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y | = e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$

Schritt 3.5.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{- \frac{1}{x} + C} | x |$ um.

$| y | = | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Schritt 3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm | x | e^{- \frac{1}{x} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{1}{x} + C}$ als $e^{- \frac{1}{x}} e^{C}$ um.

$y = \pm | x | (e^{- \frac{1}{x}} e^{C})$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{1}{x}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm | x | (e^{C} e^{- \frac{1}{x}})$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C | x | e^{- \frac{1}{x}}$