Analysis Beispiele

$2 x d y = (x + y) d x$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $(x + y) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x d y - (x + y) d x = 0$

Schritt 1.2

Forme um.

$- (x + y) d x + 2 x d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - (x + y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- (x + y)]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- (x + y)$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [x + y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.4

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1 \cdot 1$

Schritt 2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 1$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 1 = 2$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 1 = 2$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 1$ .

$\frac{- 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2$ .

$\frac{- 1 - 2}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $2 x$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $2 x$ .

$\frac{- 1 - 2}{2 x}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$\frac{- 3}{2 x}$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2 x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{3}{2 x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{2 x} d x}$

Schritt 6.2

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 6.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \frac{3}{2} \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1

Multipliziere $- \frac{3}{2} \ln (| x |)$ .

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Schritt 6.5.1.1

Stelle $\ln (| x |)$ und $\frac{3}{2}$ um.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{3}{2} \ln (| x |))} + C$

Schritt 6.5.1.2

Vereinfache $\frac{3}{2} \ln (| x |)$ , indem du $\frac{3}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| x |}^{\frac{3}{2}})} + C$

Schritt 6.5.2

Vereinfache $- \ln ({| x |}^{\frac{3}{2}})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| x |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1})} + C$

Schritt 6.5.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {({| x |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1} + C$

Schritt 6.5.4

Multipliziere die Exponenten in ${({| x |}^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.5.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3}{2} \cdot - 1} + C$

Schritt 6.5.4.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.5.4.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} + C$

Schritt 6.5.4.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = {| x |}^{\frac{- 3}{2}} + C$

Schritt 6.5.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$μ (x, y) = {| x |}^{- \frac{3}{2}} + C$

Schritt 6.5.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- (x + y) d x + 2 x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- (x + y)$ mit $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- (x + y) \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- x - y) \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $- x - y$ mit $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{- x - y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Schritt 7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$\frac{- (x) - y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Schritt 7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$\frac{- (x) - (y)}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Schritt 7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (y)$ heraus.

$\frac{- (x + y)}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Schritt 7.7

Schreibe $- (x + y)$ als $- 1 (x + y)$ um.

$\frac{- 1 (x + y)}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Schritt 7.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x d y = 0$

Schritt 7.9

Mutltipliziere $2 x$ mit $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + 2 x \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.10

Multipliziere $2 x \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 7.10.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + x \frac{2}{x^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.10.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{x \cdot 2}{x^{\frac{3}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.11

Bringe $x^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} d y = 0$

Schritt 7.12

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.12.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2} - 1}} d y = 0$

Schritt 7.12.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.12.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.12.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.12.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.12.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.12.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$- \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}} d x + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} y + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $y$ .

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$2 y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ als ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$2 y \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 12.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$2 y (- {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 12.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 y (- x^{\frac{1}{2} \cdot - 2} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 y (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y (- x^{\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 y (- x^{- 1} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 y (- x^{- 1} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $x^{- 1}$ .

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2}} x^{- 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.13

Multipliziere $x^{- \frac{1}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.13.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.13.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.13.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 y (- \frac{x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.13.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 y (- \frac{x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.13.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.13.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$2 y (- \frac{x^{\frac{- 1 - 2}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.13.5.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$2 y (- \frac{x^{\frac{- 3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.13.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$2 y (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.14

Bringe $x^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 y (- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.15

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 y \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.16

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$y \frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.17

Kombiniere $y$ und $\frac{- 2}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{y \cdot - 2}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.18

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{- 2 \cdot y}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.19

Faktorisiere $2$ aus $- 2 y$ heraus.

$\frac{2 (- y)}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.20

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.20.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 (- y)}{2 (x^{\frac{3}{2}})} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.20.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- y)}{2 x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.20.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.3.21

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$- \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{d g}{d x} = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} = - \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Vereinfache $\frac{d g}{d x} - \frac{y}{x^{\frac{3}{2}}} + \frac{x + y}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

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Schritt 13.1.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.1.1.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- y + x + y}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- y + x + y$ .

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Schritt 13.1.1.1.2.1

Addiere $- y$ und $y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x + 0}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.1.2.2

Addiere $x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{x}{x^{\frac{3}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.2.1

Bringe $x^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} x^{- 1}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2

Multipliziere $x^{\frac{3}{2}}$ mit $x^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2} - 1}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{3 - 2}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 14.4

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (x) = - \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 14.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 14.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = - \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 14.5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$g (x) = - \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 14.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (x) = - \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 14.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$g (x) = - (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 14.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.7.1

Schreibe $- (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ als $- 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$g (x) = - 1 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 14.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$g (x) = - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{2 y}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + C$