Analysis Beispiele

$2 x v d v + (v^{2} - 1) d x = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(v^{2} - 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x v d v = - (v^{2} - 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ .

$\frac{1}{x (v^{2} - 1)} (2 x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$2 \frac{1}{x (v^{2} - 1^{2})} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = v$ und $b = 1$ .

$2 \frac{1}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x (v + 1) (v - 1)}$ .

$\frac{2}{x (v + 1) (v - 1)} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x (v + 1) (v - 1)$ heraus.

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $x$ aus $x v$ heraus.

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x (v)) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{x ((v + 1) (v - 1))} (x v) d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{(v + 1) (v - 1)} v d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.5

Kombiniere $\frac{2}{(v + 1) (v - 1)}$ und $v$ .

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (- (v^{2} - 1)) d x$

Schritt 3.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

Schritt 3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v^{2} - 1$ .

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Schritt 3.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x (v^{2} - 1)}$ in den Zähler.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x (v^{2} - 1)} (v^{2} - 1) d x$

Schritt 3.7.2

Faktorisiere $v^{2} - 1$ aus $x (v^{2} - 1)$ heraus.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

Schritt 3.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{(v^{2} - 1) x} (v^{2} - 1) d x$

Schritt 3.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2 v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{v}{(v + 1) (v - 1)} d v = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Sei $u = (v + 1) (v - 1)$ . Dann ist $d u = 2 v d v$ , folglich $\frac{1}{2} d u = v d v$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.2.1

Es sei $u = (v + 1) (v - 1)$ . Ermittle $\frac{d u}{d v}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Differenziere $(v + 1) (v - 1)$ .

$\frac{d}{d v} [(v + 1) (v - 1)]$

Schritt 4.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ gleich $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ ist mit $f (v) = v + 1$ und $g (v) = v - 1$ .

$(v + 1) \frac{d}{d v} [v - 1] + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 4.2.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $v - 1$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]$ .

$(v + 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(v + 1) (1 + \frac{d}{d v} [- 1]) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$(v + 1) (1 + 0) + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1.3.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$(v + 1) \cdot 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.4.2

Mutltipliziere $v + 1$ mit $1$ .

$v + 1 + (v - 1) \frac{d}{d v} [v + 1]$

Schritt 4.2.2.1.3.5

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $v + 1$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$v + 1 + (v - 1) (\frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1])$

Schritt 4.2.2.1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + \frac{d}{d v} [1])$

Schritt 4.2.2.1.3.7

Da $1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$v + 1 + (v - 1) (1 + 0)$

Schritt 4.2.2.1.3.8

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 4.2.2.1.3.8.1

Addiere $1$ und $0$ .

$v + 1 + (v - 1) \cdot 1$

Schritt 4.2.2.1.3.8.2

Mutltipliziere $v - 1$ mit $1$ .

$v + 1 + v - 1$

Schritt 4.2.2.1.3.8.3

Addiere $v$ und $v$ .

$2 v + 1 - 1$

Schritt 4.2.2.1.3.8.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 4.2.2.1.3.8.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$2 v + 0$

Schritt 4.2.2.1.3.8.4.2

Addiere $2 v$ und $0$ .

$2 v$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

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Schritt 4.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.7

Ersetze alle $u$ durch $(v + 1) (v - 1)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| (v + 1) (v - 1) |) + \ln (| x |) = C$

Schritt 5.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| (v + 1) (v - 1) | | x |) = C$

Schritt 5.3

Multipliziere $(v + 1) (v - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| v (v - 1) + 1 (v - 1) | | x |) = C$

Schritt 5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 (v - 1) | | x |) = C$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| v \cdot v + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Schritt 5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Mutltipliziere $v$ mit $v$ .

$\ln (| v^{2} + v \cdot - 1 + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Schritt 5.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $v$ .

$\ln (| v^{2} - 1 \cdot v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Schritt 5.4.1.3

Schreibe $- 1 v$ als $- v$ um.

$\ln (| v^{2} - v + 1 v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Schritt 5.4.1.4

Mutltipliziere $v$ mit $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v + 1 \cdot - 1 | | x |) = C$

Schritt 5.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\ln (| v^{2} - v + v - 1 | | x |) = C$

Schritt 5.4.2

Addiere $- v$ und $v$ .

$\ln (| v^{2} + 0 - 1 | | x |) = C$

Schritt 5.4.3

Addiere $v^{2}$ und $0$ .

$\ln (| v^{2} - 1 | | x |) = C$

Schritt 5.5

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (v^{2} - 1) x |) = C$

Schritt 5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| v^{2} x - 1 x |) = C$

Schritt 5.7

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (| v^{2} x - x |) = C$

Schritt 5.8

Um nach $v$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| v^{2} x - x |)} = e^{C}$

Schritt 5.9

Schreibe $\ln (| v^{2} x - x |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | v^{2} x - x |$

Schritt 5.10

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 5.10.1

Schreibe die Gleichung als $| v^{2} x - x | = e^{C}$ um.

$| v^{2} x - x | = e^{C}$

Schritt 5.10.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$v^{2} x - x = \pm e^{C}$

Schritt 5.10.3

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$v^{2} x = \pm e^{C} + x$

Schritt 5.10.4

Teile jeden Ausdruck in $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 5.10.4.1

Teile jeden Ausdruck in $v^{2} x = \pm e^{C} + x$ durch $x$ .

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 5.10.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.10.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.10.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 5.10.4.2.1.2

Dividiere $v^{2}$ durch $1$ .

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 5.10.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.10.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.10.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}$

Schritt 5.10.4.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + 1$

Schritt 5.10.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$

Schritt 5.10.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + 1}$ .

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Schritt 5.10.6.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{x}{x}}$

Schritt 5.10.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$

Schritt 5.10.6.3

Schreibe $\sqrt{\frac{\pm e^{C} + x}{x}}$ als $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ um.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 5.10.6.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 5.10.6.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.10.6.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{C} + x}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 5.10.6.5.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Schritt 5.10.6.5.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Schritt 5.10.6.5.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 5.10.6.5.5

Addiere $1$ und $1$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 5.10.6.5.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 5.10.6.5.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 5.10.6.5.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 5.10.6.5.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.10.6.5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.10.6.5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 5.10.6.5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Schritt 5.10.6.5.6.5

Vereinfache.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} + x} \sqrt{x}}{x}$

Schritt 5.10.6.6

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$v = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$

Schritt 5.10.6.7

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} + x) x}}{x}$ um.

$v = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} + x)}}{x}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$v = \pm \frac{\sqrt{x (C + x)}}{x}$