Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = {(y + 2)}^{6}$ , $y (0) = - 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{{(y + 2)}^{6}}$ .

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(y + 2)}^{6}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} {(y + 2)}^{6}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} \frac{d y}{d x} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = 1 d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{{(y + 2)}^{6}} d y = \int d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = y + 2$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = y + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $y + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y + 2]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 2.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 2.2.1.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u^{6}} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.2.1

Bringe $u^{6}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(u^{6})}^{- 1} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{6})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{6 \cdot - 1} d u = \int d x$

Schritt 2.2.2.2.2

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\int u^{- 6} d u = \int d x$

Schritt 2.2.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- 6}$ nach $u$ gleich $- \frac{1}{5} u^{- 5}$ .

$- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $- \frac{1}{5} u^{- 5} + C_{1}$ als $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u^{5}}$ mit $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{u^{5} \cdot 5} + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.4.2.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $u^{5}$ .

$- \frac{1}{5 u^{5}} + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.2.5

Ersetze alle $u$ durch $y + 2$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = \int d x$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} + C_{1} = x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $- 1$ für $y$ in $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ ersetzt wird.

$- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}} = 0 + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ um.

$0 + K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Schritt 4.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = - \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$

Schritt 4.3

Vereinfache $- \frac{1}{5 {(- 1 + 2)}^{5}}$ .

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.3.1.1

Addiere $- 1$ und $2$ .

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1^{5}}$

Schritt 4.3.1.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$K = - \frac{1}{5 \cdot 1}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$K = - \frac{1}{5}$

Schritt 5

Setze $- \frac{1}{5}$ für $K$ in $- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5 {(y + 2)}^{5}} = x - \frac{1}{5}$