Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \tan (x)$ , $y (0) = \sqrt{3}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Faktorisiere $1 + y^{2}$ aus $(1 + y^{2}) \tan (x)$ heraus.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) (\tan (x)))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} ((1 + y^{2}) \tan (x))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \tan (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \tan (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \tan (x) d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \tan (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\tan (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sec (x) |)$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \ln (| \sec (x) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\arctan (y) = \ln (| \sec (x) |) + C$

Schritt 3

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$

Schritt 4

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $x$ und $\sqrt{3}$ für $y$ in $y = \tan (\ln (| \sec (x) |) + C)$ ersetzt wird.

$\sqrt{3} = \tan (\ln (| \sec (0) |) + C)$

Schritt 5

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$ um.

$\tan (\ln (| \sec (0) |) + C) = \sqrt{3}$

Schritt 5.2

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $C$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$| \sec (0) | = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 5.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Vereinfache $| \sec (0) |$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1.1

Der genau Wert von $\sec (0)$ ist $1$ .

$| 1 | = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 5.3.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$1 = \arctan (\sqrt{3})$

Schritt 5.4

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Der genau Wert von $\arctan (\sqrt{3})$ ist $\frac{π}{3}$ .

$1 = \frac{π}{3}$

Schritt 5.5

Dividiere $3.14159265$ durch $3$ .

$1 = 1.04719755$

Schritt 5.6

Da $1 \neq 1.04719755$ , gibt es keine Lösungen.

Keine Lösung

Schritt 5.7

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$1 = π + \frac{π}{3}$

Schritt 5.8

Löse nach $C$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1

Vereinfache $(3.14159265) + \frac{3.14159265}{3}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1.1

Dividiere $3.14159265$ durch $3$ .

$1 = 3.14159265 + 1.04719755$

Schritt 5.8.1.2

Addiere $3.14159265$ und $1.04719755$ .

$1 = 4.1887902$

Schritt 5.8.2

Da $1 \neq 4.1887902$ , gibt es keine Lösungen.

$Keine Lösung$