Analysis Beispiele

$(6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} \cdot \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1}$ mit $\frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{y}$ .

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{- 3 x^{2} + 5 x + 1}{(- 3 x^{2} + 5 x + 1) y}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} ((6 x - 5) \frac{d x}{d y}) = \frac{1}{y}$

Schritt 1.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) \frac{d x}{d y} = \frac{1}{y}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \frac{1}{y} d y$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{- 3 x^{2} + 5 x + 1} (6 x - 5) d x = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Dann ist $d u = (- 6 x + 5) d x$ , folglich $- d u = (6 x - 5) d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u = - 3 x^{2} + 5 x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} + 5 x + 1]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$- 6 x + \frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 2.2.1.1.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 6 x + 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 6 x + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.1.1.4.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$- 6 x + 5 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.1.1.5

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.2.1.1.5.1

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 6 x + 5 + 0$

Schritt 2.2.1.1.5.2

Addiere $- 6 x + 5$ und $0$ .

$- 6 x + 5$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $- 3 x^{2} + 5 x + 1$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 2.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) + C_{1} = \ln (| y |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| - 3 x^{2} + 5 x + 1 |) = \ln (| y |) + C$