Analysis Beispiele

$\frac{d Q}{d t} + \frac{2}{10 + 2 t} Q = 4$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = \frac{2}{10 + 2 t}$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{2}{10 + 2 t} d t}$

Schritt 1.2

Integriere $\frac{2}{10 + 2 t}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $10 + 2 t$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{10 + 2 t} d t}$

Schritt 1.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 t} d t}$

Schritt 1.2.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 t$ heraus.

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5) + 2 (t)} d t}$

Schritt 1.2.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (5) + 2 (t)$ heraus.

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

Schritt 1.2.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\int \frac{2 \cdot 1}{2 (5 + t)} d t}$

Schritt 1.2.1.2.5

Forme den Ausdruck um.

$e^{\int \frac{1}{5 + t} d t}$

Schritt 1.2.2

Sei $u = 5 + t$ . Dann ist $d u = d t$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 1.2.2.1

Es sei $u = 5 + t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Differenziere $5 + t$ .

$\frac{d}{d t} [5 + t]$

Schritt 1.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 + t$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{d}{d t} [5] + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.2.2.1.3

Da $5$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $5$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 1.2.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 1.2.2.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 1.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 1.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$e^{\ln (| u |) + C}$

Schritt 1.2.4

Ersetze alle $u$ durch $5 + t$ .

$e^{\ln (| 5 + t |) + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (5 + t)}$

Schritt 1.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$5 + t$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $5 + t$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $5 + t$ .

$(5 + t) \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Schritt 2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{10 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Schritt 2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $10 + 2 t$ heraus.

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Schritt 2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 \cdot 5 + 2 t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Schritt 2.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 5 + 2 t$ heraus.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{2}{2 (5 + t)} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Schritt 2.2.3.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) (\frac{1}{5 + t} Q) = (5 + t) \cdot 4$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $\frac{1}{5 + t}$ und $Q$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

Schritt 2.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 + t$ .

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Schritt 2.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + (5 + t) \frac{Q}{5 + t} = (5 + t) \cdot 4$

Schritt 2.2.5.2

Forme den Ausdruck um.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = (5 + t) \cdot 4$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 5 \cdot 4 + t \cdot 4$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + t \cdot 4$

Schritt 2.5

Bringe $4$ auf die linke Seite von $t$ .

$5 \frac{d Q}{d t} + t \frac{d Q}{d t} + Q = 20 + 4 t$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [(5 + t) Q] = 20 + 4 t$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [(5 + t) Q] d t = \int 20 + 4 t d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$(5 + t) Q = \int 20 + 4 t d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$(5 + t) Q = \int 20 d t + \int 4 t d t$

Schritt 6.2

Wende die Konstantenregel an.

$(5 + t) Q = 20 t + C + \int 4 t d t$

Schritt 6.3

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 \int t d t$

Schritt 6.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + C + 4 (\frac{1}{2} t^{2} + C)$

Schritt 6.5

Vereinfache.

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Schritt 6.5.1

Vereinfache.

$(5 + t) Q = 20 t + 4 (\frac{1}{2}) t^{2} + C$

Schritt 6.5.2

Vereinfache.

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Schritt 6.5.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{4}{2} t^{2} + C$

Schritt 6.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 6.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2} t^{2} + C$

Schritt 6.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} t^{2} + C$

Schritt 6.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} t^{2} + C$

Schritt 6.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(5 + t) Q = 20 t + \frac{2}{1} t^{2} + C$

Schritt 6.5.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ durch $5 + t$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $(5 + t) Q = 20 t + 2 t^{2} + C$ durch $5 + t$ .

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 + t$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(5 + t) Q}{5 + t} = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $Q$ durch $1$ .

$Q = \frac{20 t}{5 + t} + \frac{2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2}}{5 + t} + \frac{C}{5 + t}$

Schritt 7.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$Q = \frac{20 t + 2 t^{2} + C}{5 + t}$