Analysis Beispiele

$e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y = x^{2} y$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Stelle die Faktoren in $e^{x} \frac{d y}{d x} + 3 y$ um.

$\frac{d y}{d x} e^{x} + 3 y = x^{2} y$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $3 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$

Schritt 1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ durch $e^{x}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} e^{x} = x^{2} y - 3 y$ durch $e^{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} e^{x}}{e^{x}} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} + \frac{- 3 y}{e^{x}}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{e^{x}} - \frac{3 y}{e^{x}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y - 3 y}{e^{x}}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y - 3 y$ heraus.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{2} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} - 3 y}{e^{x}}$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- 3 y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2} + y \cdot - 3}{e^{x}}$

Schritt 1.2.2.3

Faktorisiere $y$ aus $y x^{2} + y \cdot - 3$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x^{2} - 3)}{e^{x}}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x^{2} - 3}{e^{x}})$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x^{2} - 3}{e^{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.1.1

Kehre das Vorzeichen des Exponenten von $e^{x}$ um und ziehe es aus dem Nenner heraus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) {(e^{x})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{x \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.1.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- 1 \cdot x} d x$

Schritt 2.3.1.2.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (x^{2} - 3) e^{- x} d x$

Schritt 2.3.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2} - 3$ und $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 x) d x$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - \int - 2 e^{- x} x d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} x d x)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} x d x$

Schritt 2.3.6

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = e^{- x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

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Schritt 2.3.8.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.8.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} d x$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Schritt 2.3.9

Sei $u = - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.9.1

Es sei $u = - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.9.1.1

Differenziere $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Schritt 2.3.9.1.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Schritt 2.3.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Schritt 2.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Schritt 2.3.11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = (x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Schritt 2.3.12

Schreibe $(x^{2} - 3) (- e^{- x}) + 2 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ als $- x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$ um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{u}) + C_{2}$

Schritt 2.3.13

Ersetze alle $u$ durch $- x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{2} e^{- x} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

Schritt 2.3.14

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = - e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ um.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache $e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (x (- e^{- x}) - e^{- x}) + C}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C}$

Schritt 3.3.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} + 2 (- x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

Schritt 3.3.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 (x e^{- x}) + 2 (- e^{- x}) + C}$

Schritt 3.3.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} + 3 e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + C}$

Schritt 3.3.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 3.3.2.2.1

Subtrahiere $2 e^{- x}$ von $3 e^{- x}$ .

$| y | = e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Schritt 3.3.2.2.2

Stelle die Faktoren in $e^{- e^{- x} x^{2} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ um.

$| y | = e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x} + C}$ als $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + e^{- x}}$