Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \sin (x)}{y}$ , $y (0) = - 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{x \sin (x)}{y}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = x \sin (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = x \sin (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int x \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x \sin (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - \int - \cos (x) d x$

Schritt 2.3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) - - \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + 1 \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\int \cos (x) d x$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \int \cos (x) d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\cos (x)$ nach $x$ ist $\sin (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Schreibe $x (- \cos (x)) + \sin (x) + C_{2}$ als $- x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x \cos (x) + \sin (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - x \cos (x) + \sin (x) + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} = - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Schritt 3.4

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x \cos (x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 \sin (x) + 2 K}$

Schritt 3.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 \sin (x)$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x)) + 2 K}$

Schritt 3.4.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x \cos (x)) + 2 (\sin (x))$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K}$

Schritt 3.4.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x \cos (x) + \sin (x)) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$

Schritt 4

Da $y$ negativ in der Anfangsbedingung $(0, - 1)$ ist, betrachte nur $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ um $K$ zu finden. Ersetze $0$ für $x$ und $- 1$ für $y$ .

$- 1 = - \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$

Schritt 5

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$ um.

$- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)} = - 1$

Schritt 5.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${(- \sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K)}$ als ${(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache ${(- {(2 (0 \cos (0) + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

${(- {(2 (0 \cdot 1 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $1$ .

${(- {(2 (0 + \sin (0) + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.3

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

${(- {(2 (0 + 0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.3.2.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $0 + 0 + K$ .

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Schritt 5.3.2.1.2.1.1

Addiere $0$ und $0$ .

${(- {(2 (0 + K))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.1.2

Addiere $0$ und $K$ .

${(- {(2 K)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $2 K$ an.

${(- (2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 5.3.2.1.3.1

Wende die Produktregel auf $- 2^{\frac{1}{2}} K^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3.2

Wende die Produktregel auf $- 2^{\frac{1}{2}}$ an.

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.4

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.5

Mutltipliziere ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ mit $1$ .

${(2^{\frac{1}{2}})}^{2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.6

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2^{1} {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.7

Berechne den Exponenten.

$2 {(K^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.8

Multipliziere die Exponenten in ${(K^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.8.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 K^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$2 K^{1} = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.2.1.9

Vereinfache.

$2 K = {(- 1)}^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$2 K = 1$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 K = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 K}{2} = \frac{1}{2}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $K$ durch $1$ .

$K = \frac{1}{2}$

Schritt 6

Setze $\frac{1}{2}$ für $K$ in $y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + K)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 6.1

Ersetze $K$ durch $\frac{1}{2}$ .

$y = - \sqrt{2 (- x \cos (x) + \sin (x) + \frac{1}{2})}$