Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y + \sin (x)$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - y = \sin (x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 d x}$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{- x + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x}$ .

$e^{- x} \frac{d y}{d x} + e^{- x} (- y) = e^{- x} \sin (x)$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $e^{- x} \frac{d y}{d x} - e^{- x} y = e^{- x} \sin (x)$ um.

$e^{- x} \frac{d y}{d x} - y e^{- x} = e^{- x} \sin (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x} y] = e^{- x} \sin (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x} y] d x = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$e^{- x} y = \int e^{- x} \sin (x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Stelle $e^{- x}$ und $\sin (x)$ um.

$e^{- x} y = \int \sin (x) e^{- x} d x$

Schritt 7.2

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sin (x)$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} \cos (x) d x$

Schritt 7.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) - - \int e^{- x} \cos (x) d x$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} \cos (x) d x$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} \cos (x) d x$ mit $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int e^{- x} \cos (x) d x$

Schritt 7.4.3

Stelle $e^{- x}$ und $\cos (x)$ um.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \int \cos (x) e^{- x} d x$

Schritt 7.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \cos (x)$ und $d v = e^{- x}$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- \sin (x)) d x$

Schritt 7.6

Da $- - 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- - 1$ aus dem Integral.

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (- - 1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 7.7

Multipliziere.

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Schritt 7.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - (1 \int e^{- x} (\sin (x)) d x)$

Schritt 7.7.2

Mutltipliziere $\int e^{- x} (\sin (x)) d x$ mit $1$ .

$e^{- x} y = \sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x}) - \int e^{- x} (\sin (x)) d x$

Schritt 7.8

Wenn nach $\int e^{- x} \sin (x) d x$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int e^{- x} \sin (x) d x$ = $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2}$ .

$e^{- x} y = \frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$

Schritt 7.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.9.1

Schreibe $\frac{\sin (x) (- e^{- x}) + \cos (x) (- e^{- x})}{2} + C$ als $\frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$ um.

$e^{- x} y = \frac{- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Schritt 7.9.2

Vereinfache.

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Schritt 7.9.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.9.2.1.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- \sin (x) e^{- x} - \cos (x) e^{- x}$ heraus.

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Schritt 7.9.2.1.1.1

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- \sin (x) e^{- x}$ heraus.

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) - \cos (x) e^{- x}}{2} + C$

Schritt 7.9.2.1.1.2

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $- \cos (x) e^{- x}$ heraus.

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))}{2} + C$

Schritt 7.9.2.1.1.3

Faktorisiere $e^{- x}$ aus $e^{- x} (- \sin (x)) + e^{- x} (- \cos (x))$ heraus.

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- \sin (x) - \cos (x))}{2} + C$

Schritt 7.9.2.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x) - \cos (x)$ heraus.

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Schritt 7.9.2.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sin (x)$ heraus.

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - \cos (x))}{2} + C$

Schritt 7.9.2.1.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \cos (x)$ heraus.

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x)) - (\cos (x)))}{2} + C$

Schritt 7.9.2.1.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\sin (x)) - (\cos (x))$ heraus.

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} (- (\sin (x) + \cos (x)))}{2} + C$

$e^{- x} y = \frac{e^{- x} \cdot - 1 (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Schritt 7.9.2.1.3

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$e^{- x} y = \frac{- e^{- x} (\sin (x) + \cos (x))}{2} + C$

Schritt 7.9.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{- x} y = - \frac{1}{2} e^{- x} (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $e^{- x}$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ durch $e^{- x}$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x} y = - \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x)) + C$ durch $e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x} y}{e^{- x}} = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.1.1

Faktorisiere $\frac{e^{- x}}{2}$ aus $\frac{- \frac{e^{- x}}{2} \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}}$ heraus.

$y = \frac{e^{- x}}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.1.2

Kombinieren.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x}$ .

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Schritt 8.2.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{e^{- x} (- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x)))}{2 e^{- x}} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1 \cdot (\sin (x) + \cos (x))}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$

Schritt 8.2.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{\sin (x) + \cos (x)}{2} + \frac{C}{e^{- x}}$