Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x - 3$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x - 3$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x - 3$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.1.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{1} + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.3.1.1.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = x + \frac{2 x}{x} + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.3.1.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = x + 2 + \frac{- 3}{x}$

Schritt 1.1.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = x + 2 - \frac{3}{x}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (x + 2 - \frac{3}{x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x + 2 - \frac{3}{x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x + 2 - \frac{3}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int x d x + \int 2 d x + \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + \int 2 d x + \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} + \int - \frac{3}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - \int \frac{3}{x} d x$

Schritt 2.3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - (3 \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - 3 \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.7

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + C_{2} + 2 x + C_{3} - 3 (\ln (| x |) + C_{4})$

Schritt 2.3.8

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3 \ln (| x |) + C_{5}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3 \ln (| x |) + C$