Analysis Beispiele

$(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y - y$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - y]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- y]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- y]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1 \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x - 1$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x^{2} + x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + x]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 x - 1$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x + 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x - 1 = 2 x + 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x - 1 = 2 x + 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x - 1$ .

$\frac{2 x - 1 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 x + 1$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x^{2} + x$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x^{2} + x$ .

$\frac{2 x - 1 - (2 x + 1)}{x^{2} + x}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x - 1 - (2 x) - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1 \cdot 1}{x^{2} + x}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x - 1}{x^{2} + x}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$\frac{0 - 1 - 1}{x^{2} + x}$

Schritt 4.3.2.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{- 1 - 1}{x^{2} + x}$

Schritt 4.3.2.6

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{- 2}{x^{2} + x}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{- 2}{x \cdot x + x}$

Schritt 4.3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2}{x \cdot x + x^{1}}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{- 2}{x \cdot x + x \cdot 1}$

Schritt 4.3.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{- 2}{x (x + 1)}$

Schritt 4.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x (x + 1)}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{2}{x (x + 1)} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{x (x + 1)} d x}$

Schritt 5.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x)}$

Schritt 5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x (x + 1)} d x}$

Schritt 5.4

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 5.4.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 5.4.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Schritt 5.4.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $x (x + 1)$ .

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 5.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x (x + 1))}{x (x + 1)} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 5.4.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 5.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (x + 1)}{x + 1} = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 5.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 5.4.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.4.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (x (x + 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 5.4.1.5.1.2

Dividiere $A (x + 1)$ durch $1$ .

$1 = A (x + 1) + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 5.4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 5.4.1.5.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A x + A + \frac{(B) (x (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 5.4.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.4.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A x + A + \frac{B (x (x + 1))}{x + 1}$

Schritt 5.4.1.5.4.2

Dividiere $(B) (x)$ durch $1$ .

$1 = A x + A + (B) (x)$

$1 = A x + A + B x$

Schritt 5.4.1.6

Bewege $A$ .

$1 = A x + B x + A$

Schritt 5.4.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 5.4.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = A + B$

Schritt 5.4.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A$

Schritt 5.4.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = A + B$

$1 = A$

$0 = A + B$

$1 = A$

Schritt 5.4.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 5.4.3.1

Schreibe die Gleichung als $A = 1$ um.

$A = 1$

$0 = A + B$

Schritt 5.4.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.4.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = A + B$ durch $1$ .

$0 = (1) + B$

$A = 1$

Schritt 5.4.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.2.2.1

Entferne die Klammern.

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

$0 = 1 + B$

$A = 1$

Schritt 5.4.3.3

Löse in $0 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 5.4.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 0$ um.

$1 + B = 0$

$A = 1$

Schritt 5.4.3.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = - 1$

$A = 1$

$B = - 1$

$A = 1$

Schritt 5.4.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$B = - 1 A = 1$

Schritt 5.4.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$B = - 1, A = 1$

Schritt 5.4.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{x} + \frac{- 1}{x + 1}$

Schritt 5.4.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{x} - \frac{1}{x + 1} d x}$

Schritt 5.5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\int \frac{1}{x} d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Schritt 5.6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C + \int - \frac{1}{x + 1} d x)}$

Schritt 5.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{x + 1} d x)}$

Schritt 5.8

Sei $u = x + 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.8.1

Es sei $u = x + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.8.1.1

Differenziere $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Schritt 5.8.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.8.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 5.8.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.8.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - \int \frac{1}{u} d u)}$

Schritt 5.9

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| x |) + C - (\ln (| u |) + C))}$

Schritt 5.10

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| u |})} + C$

Schritt 5.11

Ersetze alle $u$ durch $x + 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})} + C$

Schritt 5.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.12.1

Vereinfache $- 2 \ln (\frac{| x |}{| x + 1 |})$ , indem du $- 2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2})} + C$

Schritt 5.12.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {(\frac{| x |}{| x + 1 |})}^{- 2} + C$

Schritt 5.12.3

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$μ (x, y) = {(\frac{| x + 1 |}{| x |})}^{2} + C$

Schritt 5.12.4

Wende die Produktregel auf $\frac{| x + 1 |}{| x |}$ an.

$μ (x, y) = \frac{{| x + 1 |}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.12.5.1

Entferne den Absolutwert in ${| x + 1 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.2

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$μ (x, y) = \frac{(x + 1) (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.3

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.12.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$μ (x, y) = \frac{x (x + 1) + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$μ (x, y) = \frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.12.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.12.5.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + x + x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.4.2

Addiere $x$ und $x$ .

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.5

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.12.5.5.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.5.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Schritt 5.12.5.5.3

Schreibe das Polynom neu.

$μ (x, y) = \frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.5.5.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 1$ .

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{{| x |}^{2}} + C$

Schritt 5.12.6

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(2 x y - y) d x + (x^{2} + x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $2 x y - y$ mit $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$(2 x y - y) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $2 x y - y$ mit $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{(2 x y - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Schritt 6.3

Faktorisiere $y$ aus $2 x y - y$ heraus.

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Schritt 6.3.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{(y (2 x) - y) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{(y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Schritt 6.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y (2 x) + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) d y = 0$

Schritt 6.4

Mutltipliziere $x^{2} + x$ mit $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + (x^{2} + x) \frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $x^{2} + x$ mit $\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x^{2} + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + x$ heraus.

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Schritt 6.6.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x^{1}) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{(x \cdot x + x \cdot 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 1$ heraus.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x (x + 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6.2

Multipliziere $x + 1$ mit ${(x + 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.2.1

Bewege ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} (x + 1))}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6.2.2

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $x + 1$ .

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Schritt 6.6.2.2.1

Potenziere $x + 1$ mit $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{1})}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{2 + 1}}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.6.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 6.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x {(x + 1)}^{3}$ heraus.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 6.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.7.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x ({(x + 1)}^{3})}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 6.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{x {(x + 1)}^{3}}{x \cdot x} d y = 0$

Schritt 6.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}} d x + \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3}}{x} y + C$

Schritt 8.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 8.2.1

Kombiniere $\frac{{(x + 1)}^{3}}{x}$ und $y$ .

$f (x, y) = \frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$

Schritt 8.2.2

Schreibe $\frac{{(x + 1)}^{3} y}{x} + C$ als $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} \cdot 1 + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1^{2} + 1^{3}) y}{x} + C$

Schritt 8.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + 1^{3}) y}{x} + C$

Schritt 8.2.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1^{3}) y}{x} + C$

Schritt 8.2.3.4

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x}$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1}{x}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ und $g (x) = x$ .

$y \frac{x \frac{d}{d x} [x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1] - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$y \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.9

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.11

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.12

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3 + 0) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.13

Addiere $3 x^{2} + 6 x + 3$ und $0$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) \cdot 1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y \frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.3.15

Kombiniere $y$ und $\frac{x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$\frac{y (x (3 x^{2} + 6 x + 3) - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1))}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (x (3 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot 3 - x^{3} - (3 x^{2}) - (3 x) - 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{y (x (3 x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4

Vereine die Terme

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Schritt 11.5.4.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{y (3 (x^{1} x^{2})) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{y (3 x^{1 + 2}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{y (3 x^{3}) + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{3 \cdot y x^{3} + y (x (6 x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.5

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x)) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 (x^{1} x^{1})) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{1 + 1}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + y (6 x^{2}) + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.9

Bringe $6$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 \cdot y x^{2} + y (x \cdot 3) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.10

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + y (3 \cdot x) + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.11

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 \cdot y x + y (- x^{3}) + y (- (3 x^{2})) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.12

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- (3 x)) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.13

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y (- 1 \cdot 1)}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.14

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) + y \cdot - 1}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.15

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - 1 \cdot y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.16

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$\frac{3 y x^{3} + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- x^{3}) + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.17

Bewege $y$ .

$\frac{3 x^{3} y - x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.18

Subtrahiere $x^{3} y$ von $3 x^{3} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 y x^{2} + 3 y x + y (- 3 x^{2}) + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.19

Bewege $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 6 x^{2} y - 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.20

Subtrahiere $3 x^{2} y$ von $6 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 y x + y (- 3 x) - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.21

Bewege $y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 3 x y - 3 x y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.22

Subtrahiere $3 x y$ von $3 x y$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y + 0 - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.4.23

Addiere $2 x^{3} y + 3 x^{2} y$ und $0$ .

$\frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} + \frac{d g}{d x} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.6

Faktorisiere $y$ aus $2 x^{3} y + 3 x^{2} y - y$ heraus.

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Schritt 11.5.6.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x^{3} y$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + 3 x^{2} y - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.6.2

Faktorisiere $y$ aus $3 x^{2} y$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.6.3

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.6.4

Faktorisiere $y$ aus $y (2 x^{3}) + y (3 x^{2})$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.6.5

Faktorisiere $y$ aus $y (2 x^{3} + 3 x^{2}) + y \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.7

Um $\frac{d g}{d x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2}}{x^{2}} + \frac{y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3} + 3 x^{2} - 1)}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.5.9.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + y (2 x^{3}) + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.9.2

Vereinfache.

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Schritt 11.5.9.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + y (3 x^{2}) + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.9.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} + y \cdot - 1}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.9.2.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - 1 \cdot y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.9.3

Vereinfache jeden Term.

$\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 11.5.10

Stelle die Faktoren in $\frac{\frac{d g}{d x} x^{2} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}}$ um.

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y}{x^{2}} = \frac{y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}}{x^{2}}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1.1

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 12.1.2

Vereinfache $y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 12.1.2.1

Forme um.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 12.1.2.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1.2.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 0 + y (2 x - 1) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 12.1.2.2.2

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 12.1.2.2.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (y (2 x) + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 12.1.2.2.2.2

Stelle um.

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Schritt 12.1.2.2.2.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x + y \cdot - 1) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 12.1.2.2.2.2.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - 1 \cdot y) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 12.1.2.2.3

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) {(x + 1)}^{2}$

Schritt 12.1.2.2.4

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) ((x + 1) (x + 1))$

Schritt 12.1.2.3

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 12.1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Schritt 12.1.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Schritt 12.1.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 12.1.2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 12.1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 12.1.2.4.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Schritt 12.1.2.4.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Schritt 12.1.2.4.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + x + x + 1)$

Schritt 12.1.2.4.2

Addiere $x$ und $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = (2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$

Schritt 12.1.2.5

Multipliziere $(2 y x - y) (x^{2} + 2 x + 1)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$

Schritt 12.1.2.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 12.1.2.6.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 2 y x \cdot 1 - y x^{2} - y (2 x) - y \cdot 1$ .

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Schritt 12.1.2.6.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $2 y x \cdot 1$ und $- y (2 x)$ neu an.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) + 1 \cdot 2 x y - y x^{2} - 1 \cdot 2 x y - y \cdot 1$

Schritt 12.1.2.6.1.2

Subtrahiere $2 x y$ von $1 \cdot 2 x y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} + 0 - y \cdot 1$

Schritt 12.1.2.6.1.3

Addiere $2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2}$ und $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x \cdot x^{2} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Schritt 12.1.2.6.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 12.1.2.6.2.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.2.6.2.1.1

Bewege $x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Schritt 12.1.2.6.2.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 12.1.2.6.2.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y (x^{2} x^{1}) + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Schritt 12.1.2.6.2.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{2 + 1} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Schritt 12.1.2.6.2.1.3

Addiere $2$ und $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x (2 x) - y x^{2} - y \cdot 1$

Schritt 12.1.2.6.2.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.1.2.6.2.2.1

Bewege $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y (x \cdot x) \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Schritt 12.1.2.6.2.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 2 y x^{2} \cdot 2 - y x^{2} - y \cdot 1$

Schritt 12.1.2.6.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y \cdot 1$

Schritt 12.1.2.6.2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 4 y x^{2} - y x^{2} - y$

Schritt 12.1.2.6.3

Subtrahiere $y x^{2}$ von $4 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y$

Schritt 12.1.3

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.3.1

Subtrahiere $2 y x^{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d g}{d x} + 3 y x^{2} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3}$

Schritt 12.1.3.2

Subtrahiere $3 y x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d g}{d x} - y = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2}$

Schritt 12.1.3.3

Addiere $y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$

Schritt 12.1.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y x^{3} + 3 y x^{2} - y - 2 y x^{3} - 3 y x^{2} + y$ .

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Schritt 12.1.3.4.1

Subtrahiere $2 y x^{3}$ von $2 y x^{3}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y + 0 - 3 y x^{2} + y$

Schritt 12.1.3.4.2

Addiere $3 y x^{2} - y$ und $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 3 y x^{2} - y - 3 y x^{2} + y$

Schritt 12.1.3.4.3

Subtrahiere $3 y x^{2}$ von $3 y x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + 0 + y$

Schritt 12.1.3.4.4

Addiere $- y$ und $0$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = - y + y$

Schritt 12.1.3.4.5

Addiere $- y$ und $y$ .

$x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 12.1.4

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 12.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $x^{2} \frac{d g}{d x} = 0$ durch $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Schritt 12.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 12.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \frac{d g}{d x}}{x^{2}} = \frac{0}{x^{2}}$

Schritt 12.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d g}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{0}{x^{2}}$

Schritt 12.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.1.4.3.1

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 0$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $0$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 0$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 0 d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 0 d x$

Schritt 13.3

Das Integral von $0$ nach $x$ ist $0$ .

$g (x) = 0 + C$

Schritt 13.4

Addiere $0$ und $C$ .

$g (x) = C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$

Schritt 15

Stelle die Faktoren in $f (x, y) = \frac{(x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1) y}{x} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{y (x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1)}{x} + C$