Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = \sqrt{x} + 1$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2 y}{x} = 1 + \sqrt{x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $- \frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{2}{x}) = 1 + \sqrt{x}$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $- \frac{2}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} - \frac{2}{x} y = 1 + \sqrt{x}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{2}{x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- \frac{2}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{- (2 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$e^{- 2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$e^{- 2 \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 2 \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 2})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 2}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} (- \frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Schritt 3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} (\frac{2}{x} y) = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $\frac{2}{x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Schritt 3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{2 y}{x}$ .

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{2 y}{x}$ mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x \cdot x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Schritt 3.2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1} x^{2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Schritt 3.2.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{1 + 2}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Schritt 3.2.4.2.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} \cdot 1 + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Schritt 3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \sqrt{x}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $\sqrt{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{2}} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}} y] d x = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} + \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{x^{2}} y = \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 7.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 7.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = \int x^{- 2} d x + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 7.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \frac{\sqrt{x}}{x^{2}} d x$

Schritt 7.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.4.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 7.4.2

Vereinfache.

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Schritt 7.4.2.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.4.2.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.4.2.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int \sqrt{x} x^{- 2} d x$

Schritt 7.4.2.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2}} x^{- 2} d x$

Schritt 7.4.2.3

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.2.3.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2} d x$

Schritt 7.4.2.3.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}} d x$

Schritt 7.4.2.3.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 7.4.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 2 \cdot 2}{2}} d x$

Schritt 7.4.2.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.2.3.5.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{1 - 4}{2}} d x$

Schritt 7.4.2.3.5.2

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Schritt 7.4.2.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Schritt 7.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{2}}$ nach $x$ gleich $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} y = - x^{- 1} + C - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.6

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{2}} y = - \frac{1}{x} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1.1

Addiere $\frac{1}{x}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} = - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.1.2

Addiere $2 x^{- \frac{1}{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} = C$

Schritt 8.1.3

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} y + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

Schritt 8.1.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.4.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 x^{- \frac{1}{2}} - C = 0$

Schritt 8.1.4.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 2 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Schritt 8.1.4.3

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = 0$

Schritt 8.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 8.2.1

Subtrahiere $\frac{1}{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{2}} + \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} - C = - \frac{1}{x}$

Schritt 8.2.2

Subtrahiere $\frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{2}} - C = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 8.2.3

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y}{x^{2}} = - \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C$

Schritt 8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Schritt 8.4

Vereinfache.

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Schritt 8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{2}} x^{2} = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Schritt 8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$

Schritt 8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.4.2.1

Vereinfache $(- \frac{1}{x} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} + C) x^{2}$ .

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Schritt 8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2

Vereinfache.

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Schritt 8.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x}$ in den Zähler.

$y = \frac{- 1}{x} x^{2} - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1}{x} (x \cdot x) - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 x - \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 8.4.2.1.2.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}$ in den Zähler.

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} x^{2} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.2.2

Faktorisiere $x^{\frac{1}{2}}$ aus $x^{2}$ heraus.

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - 1 x + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{2}}} (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.2.2.4

Forme den Ausdruck um.

$y = - 1 x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$y = - x - 2 x^{\frac{3}{2}} + C x^{2}$

Schritt 8.4.2.1.4

Bewege $- 2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$y = - x + C x^{2} - 2 x^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.4.2.1.5

Stelle $- x$ und $C x^{2}$ um.

$y = C x^{2} - x - 2 x^{\frac{3}{2}}$