Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \csc (x) + y \cot (x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y \cot (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} - y \cot (x) = \csc (x)$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \cot (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (- 1 \cot (x)) = \csc (x)$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $- 1 \cot (x)$ um.

$\frac{d y}{d x} - 1 \cot (x) y = \csc (x)$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 1 \cot (x)$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 1 \cot (x) d x}$

Schritt 2.2

Integriere $- 1 \cot (x)$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \cot (x) d x}$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$e^{- (\ln (| \sin (x) |) + C)}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

$e^{- \ln (| \sin (x) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \ln (\sin (x))}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (\sin^{- 1} (x))}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sin^{- 1} (x)$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\sin (x)}$

Schritt 2.7

Wandle von $\frac{1}{\sin (x)}$ nach $\csc (x)$ um.

$\csc (x)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\csc (x)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\csc (x)$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} + \csc (x) (- 1 \cot (x) y) = \csc (x) \csc (x)$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc (x) \csc (x)$

Schritt 3.3

Multipliziere $\csc (x) \csc (x)$ .

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Schritt 3.3.1

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc (x)$

Schritt 3.3.2

Potenziere $\csc (x)$ mit $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{1} (x) \csc^{1} (x)$

Schritt 3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = {\csc (x)}^{1 + 1}$

Schritt 3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$

Schritt 3.4

Stelle die Faktoren in $\csc (x) \frac{d y}{d x} - \csc (x) \cot (x) y = \csc^{2} (x)$ um.

$\csc (x) \frac{d y}{d x} - y \csc (x) \cot (x) = \csc^{2} (x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\csc (x) y] = \csc^{2} (x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\csc (x) y] d x = \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\csc (x) y = \int \csc^{2} (x) d x$

Schritt 7

Da die Ableitung von $- \cot (x)$ gleich $\csc^{2} (x)$ ist, ist das Integral von $\csc^{2} (x)$ gleich $- \cot (x)$ .

$\csc (x) y = - \cot (x) + C$

Schritt 8

Teile jeden Ausdruck in $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ durch $\csc (x)$ und vereinfache.

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Schritt 8.1

Teile jeden Ausdruck in $\csc (x) y = - \cot (x) + C$ durch $\csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\csc (x)$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\csc (x) y}{\csc (x)} = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Schritt 8.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Schritt 8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.1.1

Separiere Brüche.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\csc (x)} + \frac{C}{\csc (x)}$

Schritt 8.3.1.2

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Schritt 8.3.1.3

Schreibe $\cot (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}} + \frac{C}{\csc (x)}$

Schritt 8.3.1.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)) + \frac{C}{\csc (x)}$

Schritt 8.3.1.5

Schreibe $\sin (x)$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Schritt 8.3.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (x)$ .

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Schritt 8.3.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}) + \frac{C}{\csc (x)}$

Schritt 8.3.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 1}{1} \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Schritt 8.3.1.7

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{\csc (x)}$

Schritt 8.3.1.8

Separiere Brüche.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\csc (x)}$

Schritt 8.3.1.9

Schreibe $\csc (x)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Schritt 8.3.1.10

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{\sin (x)}$ zu dividieren.

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} (1 \sin (x))$

Schritt 8.3.1.11

Mutltipliziere $\sin (x)$ mit $1$ .

$y = - \cos (x) + \frac{C}{1} \sin (x)$

Schritt 8.3.1.12

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = - \cos (x) + C \sin (x)$