Analysis Beispiele

$(y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}) d x + (2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [y^{2} e^{x y^{2}}]$ .

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = y^{2}$ und $g (y) = e^{x y^{2}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} \frac{d}{d y} [e^{x y^{2}}] + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = x y^{2}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{u} \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x \frac{d}{d y} [y^{2}])) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x (2 y))) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (x (2 y))) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{2} (e^{x y^{2}} (2 \cdot x y)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3.7

Multipliziere $y^{2}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.7.1

Bewege $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y \cdot y^{2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3.7.2

Mutltipliziere $y$ mit $y^{2}$ .

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Schritt 1.3.7.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{1} y^{2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3.7.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{1 + 2} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.3.7.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + \frac{d}{d y} [4 x^{3}]$

Schritt 1.4

Da $4 x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $4 x^{3}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y) + 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y)$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = y^{3} (e^{x y^{2}} (2 x)) + e^{x y^{2}} (2 y)$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$

Schritt 1.5.3

Stelle die Faktoren in $2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$ um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y e^{x y^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y e^{x y^{2}}$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x e^{x y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = e^{x y^{2}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x \frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{u} \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x y^{2}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}]) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Schritt 2.3.4

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Schritt 2.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1)) + e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Schritt 2.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1)) + e^{x y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Schritt 2.3.7

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Schritt 2.3.8

Mutltipliziere $e^{x y^{2}}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}}) + \frac{d}{d x} [- 3 y^{2}]$

Schritt 2.4

Da $- 3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2}) + e^{x y^{2}}) + 0$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y (x (e^{x y^{2}} y^{2})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Schritt 2.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.5.2.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (y^{2} y^{1}) (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Schritt 2.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{2 + 1} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Schritt 2.5.2.3

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}} + 0$

Schritt 2.5.2.4

Addiere $2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} (x (e^{x y^{2}})) + 2 y e^{x y^{2}}$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$

Schritt 2.5.4

Stelle die Faktoren in $2 e^{x y^{2}} y^{3} x + 2 e^{x y^{2}} y$ um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}} = 2 y^{3} x e^{x y^{2}} + 2 y e^{x y^{2}}$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2} d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = 2 x y e^{x y^{2}} - 3 y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 x y e^{x y^{2}} d y + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.2

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 x \int y e^{x y^{2}} d y + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.3

Sei $u = x y^{2}$ . Dann ist $d u = 2 \cdot y x d y$ , folglich $\frac{1}{2 x} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.3.1

Es sei $u = x y^{2}$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 5.3.1.1

Differenziere $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [x y^{2}]$

Schritt 5.3.1.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 5.3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x (2 y)$

Schritt 5.3.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x y$

Schritt 5.3.1.5

Stelle $2 x$ und $y$ um.

$y (2 x)$

Schritt 5.3.1.6

Entferne die Klammern.

$y \cdot 2 x$

Schritt 5.3.1.7

Stelle $y$ und $2$ um.

$2 \cdot y x$

Schritt 5.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f (x, y) = 2 x \int e^{u} \frac{1}{2 x} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.4

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = 2 x \int \frac{e^{u}}{2 x} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.5

Da $\frac{1}{2 x}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2 x}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 x (\frac{1}{2 x} \int e^{u} d u) + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2 x}$ .

$f (x, y) = x (\frac{2}{2 x} \int e^{u} d u) + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.6.2

Kombiniere $\frac{2}{2 x}$ und $x$ .

$f (x, y) = \frac{2 x}{2 x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2 x}{2 x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.6.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 5.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{x}{x} \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.6.5

Mutltipliziere $\int e^{u} d u$ mit $1$ .

$f (x, y) = \int e^{u} d u + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.7

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C + \int - 3 y^{2} d y$

Schritt 5.8

Da $- 3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$f (x, y) = e^{u} + C - 3 \int y^{2} d y$

Schritt 5.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = e^{u} + C - 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Schritt 5.10

Vereinfache.

$f (x, y) = e^{u} - 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Schritt 5.11

Vereinfache.

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Schritt 5.11.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = e^{u} + \frac{- 3}{3} y^{3} + C$

Schritt 5.11.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 5.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3} y^{3} + C$

Schritt 5.11.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.11.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} y^{3} + C$

Schritt 5.11.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = e^{u} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} y^{3} + C$

Schritt 5.11.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = e^{u} + \frac{- 1}{1} y^{3} + C$

Schritt 5.11.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$f (x, y) = e^{u} - y^{3} + C$

Schritt 5.12

Ersetze alle $u$ durch $x y^{2}$ .

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [e^{x y^{2}}]$ .

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Schritt 8.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x y^{2}$ .

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Schritt 8.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x y^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x y^{2}$ .

$e^{x y^{2}} \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.3.2

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x y^{2}} (y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{x y^{2}} (y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$e^{x y^{2}} y^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.4

Da $- y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x y^{2}} y^{2} + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$e^{x y^{2}} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Addiere $e^{x y^{2}} y^{2}$ und $0$ .

$e^{x y^{2}} y^{2} + \frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.6.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + e^{x y^{2}} y^{2} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 8.6.3

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d x} + e^{x y^{2}} y^{2}$ um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} e^{x y^{2}} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $y^{2} e^{x y^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3} - y^{2} e^{x y^{2}}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} e^{x y^{2}} + 4 x^{3} - y^{2} e^{x y^{2}}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $y^{2} e^{x y^{2}}$ von $y^{2} e^{x y^{2}}$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $4 x^{3}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

Schritt 10.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ als $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ um.

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = 1 x^{4} + C$

Schritt 10.5.2.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$g (x) = x^{4} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = e^{x y^{2}} - y^{3} + x^{4} + C$