Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 3 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 3 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 3 \int u^{2} d u$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ als $3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.3

Mutltipliziere $u^{3}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = \sin^{3} (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \sin^{3} (x) + K$