Analysis Beispiele

$(2 x y + 3) d y - y^{2} d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Forme um.

$- y^{2} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - (2 y)$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 y$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 2 x y + 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y + 3]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x y] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $2 y$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Setze $- 2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 y = 2 y$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 y = 2 y$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 y$ .

$\frac{2 y - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2 y$ .

$\frac{2 y - (- 2 y)}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $- y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $- y^{2}$ .

$\frac{2 y - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y - (- 2 y)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{y \cdot 2 - (- 2 y)}{- y^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $y$ aus $- (- 2 y)$ heraus.

$\frac{y \cdot 2 + y (- (- 2))}{- y^{2}}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 2 + y (- (- 2))$ heraus.

$\frac{y (2 - (- 2))}{- y^{2}}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{y (2 + 2)}{- y^{2}}$

Schritt 5.3.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$\frac{y \cdot 4}{- y^{2}}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y$ und $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 4$ heraus.

$\frac{y (4)}{- y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{y (4)}{y (- y)}$

Schritt 5.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \cdot 4}{y (- y)}$

Schritt 5.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{4}{- y}$

Schritt 5.3.4

Ersetze $M$ durch $- y^{2}$ .

$- \frac{4}{y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{4}{y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{4}{y} d y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{4}{y} d y}$

Schritt 6.2

Da $4$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (4 \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 \int \frac{1}{y} d y}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 4 (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 4 \ln (| y |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 4 \ln (| y |)$ , indem du $- 4$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 4})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 4} + C$

Schritt 6.6.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{- 4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = y^{- 4} + C$

Schritt 6.6.4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{4}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- y^{2} d x + (2 x y + 3) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{4}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Mutltipliziere $- y^{2}$ mit $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- y^{2} \frac{1}{y^{4}} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $- y^{2}$ heraus.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{4}} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

Schritt 7.2.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{4}$ heraus.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y^{2}} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

Schritt 7.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} \cdot - 1 \frac{1}{y^{2} y^{2}} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

Schritt 7.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x y + 3) d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2 x y + 3$ mit $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{1}{y^{2}} d x + (2 x y + 3) \frac{1}{y^{4}} d y = 0$

Schritt 7.4

Mutltipliziere $2 x y + 3$ mit $\frac{1}{y^{4}}$ .

$- \frac{1}{y^{2}} d x + \frac{2 x y + 3}{y^{4}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - \frac{1}{y^{2}} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = - \frac{1}{y^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = - \frac{1}{y^{2}} x + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$f (x, y) = - \frac{x}{y^{2}} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = - \frac{x}{y^{2}} + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y^{2}} + g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{x}{y^{2}} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x}{y^{2}}$ nach $y$ gleich $- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$- x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{y^{2}}$ als ${(y^{2})}^{- 1}$ um.

$- x \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{2}$ .

$- x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{2}$ .

$- x (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- x (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x (- y^{2 \cdot - 2} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- x (- y^{- 4} (2 y)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- x (- 2 y^{- 4} y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$- x (- 2 (y^{1} y^{- 4})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- x (- 2 y^{1 - 4}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- x (- 2 y^{- 3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.3.10

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$2 x y^{- 3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$2 x y^{- 3} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x \frac{1}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.5.2

Vereine die Terme

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y^{3}}$ .

$x \frac{2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.5.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{y^{3}}$ .

$\frac{x \cdot 2}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.5.2.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{d g}{d y} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 12.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 x}{y^{3}} = \frac{2 x y + 3}{y^{4}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.1

Subtrahiere $\frac{2 x y + 3}{y^{4}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 x}{y^{3}} - \frac{2 x y + 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Um $\frac{d g}{d y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y^{4}}{y^{4}}$ .

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4}}{y^{4}} - \frac{2 x y + 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - (2 x y + 3)}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - (2 x y) - 1 \cdot 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 (x y) - 1 \cdot 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{2 x}{y^{3}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Um $\frac{2 x}{y^{3}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 x}{y^{3}} \cdot \frac{y}{y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.6

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $y^{4}$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{2 x}{y^{3}}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{2 x y}{y^{3} y} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.6.2

Multipliziere $y^{3}$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.6.2.1

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $y$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.6.2.1.1

Potenziere $y$ mit $1$ .

$\frac{2 x y}{y^{3} y^{1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.6.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x y}{y^{3 + 1}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.6.2.2

Addiere $3$ und $1$ .

$\frac{2 x y}{y^{4}} + \frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x y + \frac{d g}{d y} y^{4} - 2 x y - 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.8

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.1.8.1

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{4} + 0 - 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.1.8.2

Addiere $\frac{d g}{d y} y^{4}$ und $0$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{4} - 3}{y^{4}} = 0$

Schritt 13.1.2

Setze den Zähler gleich Null.

$\frac{d g}{d y} y^{4} - 3 = 0$

Schritt 13.1.3

Löse die Gleichung nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.3.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} y^{4} = 3$

Schritt 13.1.3.2

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d g}{d y} y^{4} = 3$ durch $y^{4}$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d g}{d y} y^{4} = 3$ durch $y^{4}$ .

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{4}}{y^{4}} = \frac{3}{y^{4}}$

Schritt 13.1.3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1.3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d g}{d y} y^{4}}{y^{4}} = \frac{3}{y^{4}}$

Schritt 13.1.3.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d g}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d g}{d y} = \frac{3}{y^{4}}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{3}{y^{4}}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = \frac{3}{y^{4}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int \frac{3}{y^{4}} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int \frac{3}{y^{4}} d y$

Schritt 14.3

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$g (y) = 3 \int \frac{1}{y^{4}} d y$

Schritt 14.4

Bringe $y^{4}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (y) = 3 \int {(y^{4})}^{- 1} d y$

Schritt 14.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = 3 \int y^{4 \cdot - 1} d y$

Schritt 14.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$g (y) = 3 \int y^{- 4} d y$

Schritt 14.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 4}$ nach $y$ gleich $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$g (y) = 3 (- \frac{1}{3} y^{- 3} + C)$

Schritt 14.7

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.7.1

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.7.1.1

Kombiniere $y^{- 3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = 3 (- \frac{y^{- 3}}{3} + C)$

Schritt 14.7.1.2

Bringe $y^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (y) = 3 (- \frac{1}{3 y^{3}} + C)$

Schritt 14.7.2

Vereinfache.

$g (y) = 3 (- \frac{1}{3 y^{3}}) + C$

Schritt 14.7.3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$g (y) = - 3 \frac{1}{3 y^{3}} + C$

Schritt 14.7.3.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3 y^{3}}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{3 y^{3}} + C$

Schritt 14.7.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.7.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C$

Schritt 14.7.3.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.7.3.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 y^{3}$ heraus.

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 (y^{3})} + C$

Schritt 14.7.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{3 \cdot - 1}{3 y^{3}} + C$

Schritt 14.7.3.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = \frac{- 1}{y^{3}} + C$

Schritt 14.7.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (y) = - \frac{1}{y^{3}} + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = - \frac{x}{y^{2}} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = - \frac{x}{y^{2}} - \frac{1}{y^{3}} + C$