Analysis Beispiele

$\frac{d s}{d t} = \frac{(s^{3} - s) (4 t^{3} - 6 t)}{(t^{4} - 3 t^{2}) (3 s^{2} - 1)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d s}{d t} = \frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}}$

Schritt 1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3

Vereinfache.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $s$ aus $s^{3} - s$ heraus.

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Schritt 1.3.1.1.1

Faktorisiere $s$ aus $s^{3}$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s \cdot s^{2} - s} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.1.1.2

Faktorisiere $s$ aus $- s$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s \cdot s^{2} + s \cdot - 1} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.1.1.3

Faktorisiere $s$ aus $s \cdot s^{2} + s \cdot - 1$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s^{2} - 1)} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s^{2} - 1^{2})} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.1.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = s$ und $b = 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s^{3} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $s$ aus $s^{3} - s$ heraus.

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Schritt 1.3.2.1.1

Faktorisiere $s$ aus $s^{3}$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s \cdot s^{2} - s}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.2.1.2

Faktorisiere $s$ aus $- s$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s \cdot s^{2} + s \cdot - 1}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.2.1.3

Faktorisiere $s$ aus $s \cdot s^{2} + s \cdot - 1$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s^{2} - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s^{2} - 1^{2})}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.2.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = s$ und $b = 1$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{4 t^{3} - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.3

Faktorisiere $2 t$ aus $4 t^{3} - 6 t$ heraus.

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Schritt 1.3.3.1

Faktorisiere $2 t$ aus $4 t^{3}$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2}) - 6 t}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.3.2

Faktorisiere $2 t$ aus $- 6 t$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 3)}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.3.3

Faktorisiere $2 t$ aus $2 t (2 t^{2}) + 2 t (- 3)$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{4} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.4

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{4} - 3 t^{2}$ heraus.

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Schritt 1.3.4.1

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{4}$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} t^{2} - 3 t^{2}})$

Schritt 1.3.4.2

Faktorisiere $t^{2}$ aus $- 3 t^{2}$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 3})$

Schritt 1.3.4.3

Faktorisiere $t^{2}$ aus $t^{2} t^{2} + t^{2} \cdot - 3$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 t (2 t^{2} - 3)}{t^{2} (t^{2} - 3)})$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $t$ und $t^{2}$ .

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Schritt 1.3.5.1

Faktorisiere $t$ aus $2 t (2 t^{2} - 3)$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t^{2} (t^{2} - 3)})$

Schritt 1.3.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.3.5.2.1

Faktorisiere $t$ aus $t^{2} (t^{2} - 3)$ heraus.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t (t^{2} - 3))})$

Schritt 1.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{t (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t (t^{2} - 3))})$

Schritt 1.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} (\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1} \cdot \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)})$

Schritt 1.3.6

Mutltipliziere $\frac{s (s + 1) (s - 1)}{3 s^{2} - 1}$ mit $\frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)}$ .

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{(3 s^{2} - 1) (t (t^{2} - 3))}$

Schritt 1.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 s^{2} - 1$ .

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Schritt 1.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{3 s^{2} - 1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{(3 s^{2} - 1) (t (t^{2} - 3))}$

Schritt 1.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)}$

Schritt 1.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $s (s + 1) (s - 1)$ .

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Schritt 1.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{1}{s (s + 1) (s - 1)} \cdot \frac{s (s + 1) (s - 1) (2 (2 t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)}$

Schritt 1.3.8.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} \frac{d s}{d t} = \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)}$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} d s = \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{3 s^{2} - 1}{s^{3} - s} d s = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = s^{3} - s$ . Dann ist $d u_{1} = (3 s^{2} - 1) d s$ , folglich $\frac{1}{3 s^{2} - 1} d u_{1} = d s$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = s^{3} - s$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d s}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $s^{3} - s$ .

$\frac{d}{d s} [s^{3} - s]$

Schritt 2.2.1.1.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $s^{3} - s$ nach $s$ $\frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [- s]$ .

$\frac{d}{d s} [s^{3}] + \frac{d}{d s} [- s]$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 s^{2} + \frac{d}{d s} [- s]$

Schritt 2.2.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d s} [- s]$ .

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Schritt 2.2.1.1.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $s$ ist, ist die Ableitung von $- s$ nach $s$ gleich $- \frac{d}{d s} [s]$ .

$3 s^{2} - \frac{d}{d s} [s]$

Schritt 2.2.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d s} [s^{n}]$ gleich $n s^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 s^{2} - 1 \cdot 1$

Schritt 2.2.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$3 s^{2} - 1$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $s^{3} - s$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = \int \frac{2 (2 t^{2} - 3)}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \int \frac{2 t^{2} - 3}{t (t^{2} - 3)} d t$

Schritt 2.3.2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 2.3.2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 2.3.2.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor von zweiter Ordnung ist, sind $2$ Terme im Zähler erforderlich. Die Anzahl der erforderlichen Terme im Zähler ist immer gleich der Ordnung des Faktors im Nenner.

$\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.1.2

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $t (t^{2} - 3)$ .

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t (t^{2} - 3))}{t (t^{2} - 3)} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2} - 3$ .

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(2 t^{2} - 3) (t^{2} - 3)}{t^{2} - 3} = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Dividiere $2 t^{2} - 3$ durch $1$ .

$2 t^{2} - 3 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 2.3.2.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 t^{2} - 3 = \frac{A (t (t^{2} - 3))}{t} + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.1.5.1.2

Dividiere $A (t^{2} - 3)$ durch $1$ .

$2 t^{2} - 3 = A (t^{2} - 3) + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} + A \cdot - 3 + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.1.5.3

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $A$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 \cdot A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2} - 3$ .

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Schritt 2.3.2.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + \frac{(B t + C) (t (t^{2} - 3))}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.1.5.4.2

Dividiere $(B t + C) (t)$ durch $1$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + (B t + C) (t)$

Schritt 2.3.2.1.5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B t \cdot t + C t$

Schritt 2.3.2.1.5.6

Multipliziere $t$ mit $t$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.2.1.5.6.1

Bewege $t$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B (t \cdot t) + C t$

Schritt 2.3.2.1.5.6.2

Mutltipliziere $t$ mit $t$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} - 3 A + B t^{2} + C t$

Schritt 2.3.2.1.6

Bewege $- 3 A$ .

$2 t^{2} - 3 = A t^{2} + B t^{2} + C t - 3 A$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 2.3.2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $t^{2}$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$2 = A + B$

Schritt 2.3.2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $t$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = C$

Schritt 2.3.2.2.3

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $t$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 3 = - 3 A$

Schritt 2.3.2.2.4

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$2 = A + B$

$0 = C$

$- 3 = - 3 A$

$2 = A + B$

$0 = C$

$- 3 = - 3 A$

Schritt 2.3.2.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 2.3.2.3.1

Schreibe die Gleichung als $C = 0$ um.

$C = 0$

$2 = A + B$

$- 3 = - 3 A$

Schritt 2.3.2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $C$ durch $0$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.2.3.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 3 A = - 3$ um.

$- 3 A = - 3$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 2.3.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 A = - 3$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 2.3.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 A = - 3$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 2.3.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 2.3.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 2.3.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = \frac{- 3}{- 3}$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 2.3.2.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 3$ .

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = A + B$

Schritt 2.3.2.3.3

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.3.2.3.3.1

Ersetze alle $A$ in $2 = A + B$ durch $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 2.3.2.3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.3.3.2.1

Entferne die Klammern.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 2.3.2.3.4

Löse in $2 = 1 + B$ nach $B$ auf.

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Schritt 2.3.2.3.4.1

Schreibe die Gleichung als $1 + B = 2$ um.

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 2.3.2.3.4.2

Bringe alle Terme, die nicht $B$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.3.4.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 2.3.2.3.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

$B = 1$

$A = 1$

$C = 0$

Schritt 2.3.2.3.5

Löse das Gleichungssystem.

$B = 1 A = 1 C = 0$

Schritt 2.3.2.3.6

Liste alle Lösungen auf.

$B = 1, A = 1, C = 0$

Schritt 2.3.2.4

Ersetze jeden Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{t} + \frac{B t + C}{t^{2} - 3}$ durch die Werte, die für $A$ , $B$ und $C$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{t} + \frac{1 t + 0}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.5.1

Entferne die Klammern.

$\frac{1}{t} + \frac{(1) \cdot t + 0}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.5.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.3.2.5.2.1

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$\frac{1}{t} + \frac{t + 0}{t^{2} - 3}$

Schritt 2.3.2.5.2.2

Addiere $t$ und $0$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} + \frac{t}{t^{2} - 3} d t$

Schritt 2.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\int \frac{1}{t} d t + \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{t}{t^{2} - 3} d t)$

Schritt 2.3.5

Sei $u_{2} = t^{2} - 3$ . Dann ist $d u_{2} = 2 t d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u_{2} = t^{2} - 3$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $t^{2} - 3$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} - 3]$

Schritt 2.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $t^{2} - 3$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [- 3]$

Schritt 2.3.5.1.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$2 t + 0$

Schritt 2.3.5.1.5

Addiere $2 t$ und $0$ .

$2 t$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2})$

Schritt 2.3.6.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2} + \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{3}))$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |)) + C_{4}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u_{2}$ durch $t^{2} - 3$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{1}{2} \ln (| t^{2} - 3 |)) + C_{4}$

Schritt 2.3.11

Vereinfache.

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Schritt 2.3.11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| t^{2} - 3 |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.11.2

Um $\ln (| t |)$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.11.3

Kombiniere $\ln (| t |)$ und $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 (\frac{\ln (| t |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| t^{2} - 3 |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 2.3.11.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \frac{\ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |)}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.11.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.11.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \frac{\ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |)}{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.11.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = \ln (| t |) \cdot 2 + \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Schritt 2.3.11.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\ln (| t |)$ .

$\ln (| s^{3} - s |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| s^{3} - s |) = 2 \ln (| t |) + \ln (| t^{2} - 3 |) + C$