Analysis Beispiele

$x (2 y + 1) d y + 2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 (y^{2} + y + 2 x^{2})]$

Schritt 2.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 2 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 \frac{d}{d y} [y^{2} + y + 2 x^{2}]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + y + 2 x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1 + \frac{d}{d y} [2 x^{2}])$

Schritt 2.6

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1 + 0)$

Schritt 2.7

Addiere $2 y + 1$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y + 1)$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 (2 y) + 2 \cdot 1$

Schritt 2.8.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.8.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 2 \cdot 1$

Schritt 2.8.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 4 y + 2$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x (2 y + 1)$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x (2 y + 1)]$

Schritt 3.2

Da $2 y + 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x (2 y + 1)$ nach $x$ gleich $(2 y + 1) \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (2 y + 1) \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = (2 y + 1) \cdot 1$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2 y + 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $4 y + 2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y + 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$4 y + 2 = 2 y + 1$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$4 y + 2 = 2 y + 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $4 y + 2$ .

$\frac{4 y + 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 y + 1$ .

$\frac{4 y + 2 - (2 y + 1)}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $x (2 y + 1)$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $x (2 y + 1)$ .

$\frac{4 y + 2 - (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 y + 2 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{4 y + 2 - 2 y - 1 \cdot 1}{x (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{4 y + 2 - 2 y - 1}{x (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.2.4

Subtrahiere $2 y$ von $4 y$ .

$\frac{2 y + 2 - 1}{x (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.2.5

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{2 y + 1}{x (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + 1$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y + 1}{x (2 y + 1)}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int \frac{1}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |) + C}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{\ln (| x |)} + C$

Schritt 6.2.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = | x | + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2 (y^{2} + y + 2 x^{2})$ mit $x$ .

$2 (y^{2} + y + 2 x^{2}) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y^{2} + 2 y + 2 (2 x^{2})) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(2 y^{2} + 2 y + 4 x^{2}) x d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{2} x) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Schritt 7.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.5.1

Bewege $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 (x \cdot x^{2})) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Schritt 7.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 7.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 (x^{1} x^{2})) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Schritt 7.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{1 + 2}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Schritt 7.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x (2 y + 1) d y = 0$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $x (2 y + 1)$ mit $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x (2 y + 1) x d y = 0$

Schritt 7.7

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.7.1

Bewege $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x \cdot x (2 y + 1) d y = 0$

Schritt 7.7.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + x^{2} (2 y + 1) d y = 0$

Schritt 7.8

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot 1) d y = 0$

Schritt 7.9

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (2 x^{2} y + x^{2} \cdot 1) d y = 0$

Schritt 7.10

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$(2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}) d x + (2 x^{2} y + x^{2}) d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y + x^{2} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = 2 x^{2} y + x^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 x^{2} y d y + \int x^{2} d y$

Schritt 9.2

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 x^{2}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 x^{2} \int y d y + \int x^{2} d y$

Schritt 9.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + \int x^{2} d y$

Schritt 9.4

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{1}{2} y^{2} + C) + x^{2} y + C$

Schritt 9.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$f (x, y) = 2 x^{2} (\frac{y^{2}}{2} + C) + x^{2} y + C$

Schritt 9.6

Vereinfache.

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Schritt 12.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Schritt 12.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

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Schritt 12.4.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{2} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y^{2} x + y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Schritt 12.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y^{2} x + y (2 x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Schritt 12.4.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$2 y^{2} x + 2 y x + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Schritt 12.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$2 y^{2} x + 2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Schritt 12.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 2 y^{2} x + 2 x y = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $2 x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x - 2 x y$

Schritt 13.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 y^{2} x + 2 y x + 4 x^{3} - 2 y^{2} x - 2 x y$ .

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Schritt 13.1.3.1

Subtrahiere $2 y^{2} x$ von $2 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 4 x^{3} + 0 - 2 x y$

Schritt 13.1.3.2

Addiere $2 y x + 4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 2 y x + 4 x^{3} - 2 x y$

Schritt 13.1.3.3

Ordne die Faktoren in den Termen $2 y x$ und $- 2 x y$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + 4 x^{3} - 2 x y$

Schritt 13.1.3.4

Subtrahiere $2 x y$ von $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3} + 0$

Schritt 13.1.3.5

Addiere $4 x^{3}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $4 x^{3}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 4 x^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 4 x^{3} d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 4 x^{3} d x$

Schritt 14.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$g (x) = 4 \int x^{3} d x$

Schritt 14.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$g (x) = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$

Schritt 14.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.5.1

Schreibe $4 (\frac{1}{4} x^{4} + C)$ als $4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$ um.

$g (x) = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} + C$

Schritt 14.5.2

Vereinfache.

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Schritt 14.5.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Schritt 14.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 14.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{4}{4} x^{4} + C$

Schritt 14.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = 1 x^{4} + C$

Schritt 14.5.2.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$g (x) = x^{4} + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x^{2} y^{2} + x^{2} y + x^{4} + C$