Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d y} = \frac{x (x^{2} - y^{2})}{y {(x - y)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{x}{y}$ um.

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Schritt 1.1

Klammere $\frac{x}{y}$ von $\frac{x (x^{2} - y^{2})}{y {(x - y)}^{2}}$ aus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $\frac{x}{y}$ aus $\frac{x (x^{2} - y^{2})}{y {(x - y)}^{2}}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x}{y} \cdot \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$

Schritt 1.1.2

Stelle $\frac{x}{y}$ und $\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$ um.

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2} - y^{2}}{{(x - y)}^{2}} \cdot \frac{x}{y}$

Schritt 1.2

Spalte $\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$ auf und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{x^{2} - y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$ in zwei Brüche.

$\frac{d x}{d y} = (\frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d x}{d y} = (\frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.3

Schreibe $\frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}}$ als ${(\frac{x}{x - y})}^{2}$ um.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x}{x - y})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.4

Mutltipliziere $\frac{x}{x - y}$ mit $\frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x}{x - y} \cdot \frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.5

Mutltipliziere $\frac{x}{x - y}$ mit $\frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x \frac{1}{y^{1}}}{(x - y) \frac{1}{y^{1}}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y^{1}} - y \frac{1}{y^{1}}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y^{1}}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.8

Vereinfache.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.9

Vereinfache.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{x \frac{1}{y}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.10

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.11

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.11.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.11.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} + y \cdot - 1 \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} + y \cdot - 1 \frac{1}{y}})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.12

Schreibe $\frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}}$ als ${(\frac{y}{x - y})}^{2}$ um.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y}{x - y})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.13

Mutltipliziere $\frac{y}{x - y}$ mit $\frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y}{x - y} \cdot \frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.14

Mutltipliziere $\frac{y}{x - y}$ mit $\frac{\frac{1}{y^{1}}}{\frac{1}{y^{1}}}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y^{1}}}{(x - y) \frac{1}{y^{1}}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.15

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y^{1}} - y \frac{1}{y^{1}}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.16

Vereinfache.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y^{1}}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.17

Vereinfache.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y^{1}}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.18

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.18.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y \cdot 1}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{y \frac{1}{y \cdot 1}}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.18.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{1}{x \frac{1}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.19

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.19.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{1}{\frac{x}{y} - y \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.19.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.19.2.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{1}{\frac{x}{y} + y \cdot - 1 \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.19.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{1}{\frac{x}{y} + y \cdot - 1 \frac{1}{y}})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 1.19.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x}{y} - 1})}^{2} - {(\frac{1}{\frac{x}{y} - 1})}^{2}) \frac{x}{y}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{x}{y}$ . Ersetze $V$ für $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d x}{d y} = ({(\frac{V}{V - 1})}^{2} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{x}{y}$ nach $x$ auf.

$x = V y$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $x = V y$ nach $y$ zu finden.

$\frac{d x}{d y} = y \frac{d V}{d y} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d x}{d y}$ durch $y \frac{d V}{d y} + V$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = ({(\frac{V}{V - 1})}^{2} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d y}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache $({(\frac{V}{V - 1})}^{2} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Forme um.

$y \frac{d V}{d y} + V = 0 + 0 + ({(\frac{V}{V - 1})}^{2} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y \frac{d V}{d y} + V = ({(\frac{V}{V - 1})}^{2} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$

Schritt 6.1.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.3.1

Wende die Produktregel auf $\frac{V}{V - 1}$ an.

$y \frac{d V}{d y} + V = (\frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}} - {(\frac{1}{V - 1})}^{2}) V$

Schritt 6.1.1.1.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{V - 1}$ an.

$y \frac{d V}{d y} + V = (\frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1^{2}}{{(V - 1)}^{2}}) V$

Schritt 6.1.1.1.3.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y \frac{d V}{d y} + V = (\frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}}) V$

Schritt 6.1.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}} V - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} V$

Schritt 6.1.1.1.5

Multipliziere $\frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}} V$ .

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Schritt 6.1.1.1.5.1

Kombiniere $\frac{V^{2}}{{(V - 1)}^{2}}$ und $V$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{2} V}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} V$

Schritt 6.1.1.1.5.2

Multipliziere $V^{2}$ mit $V$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.1.1.1.5.2.1

Mutltipliziere $V^{2}$ mit $V$ .

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Schritt 6.1.1.1.5.2.1.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{2} V^{1}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} V$

Schritt 6.1.1.1.5.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{2 + 1}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} V$

Schritt 6.1.1.1.5.2.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{1}{{(V - 1)}^{2}} V$

Schritt 6.1.1.1.6

Kombiniere $V$ und $\frac{1}{{(V - 1)}^{2}}$ .

$y \frac{d V}{d y} + V = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y \frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{{(V - 1)}^{2}} - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{{(V - 1)}^{2}} - V$ durch $y$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y \frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{{(V - 1)}^{2}} - V$ durch $y$ .

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{\frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d V}{d y}}{y} = \frac{\frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d y}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{\frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.2

Kombinieren.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3} \cdot 1}{{(V - 1)}^{2} y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.3

Mutltipliziere $V^{3}$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2} y} + \frac{- \frac{V}{{(V - 1)}^{2}}}{y} + \frac{- V}{y}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2} y} - \frac{V}{{(V - 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{y} + \frac{- V}{y}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.5

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $\frac{V}{{(V - 1)}^{2}}$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2} y} - \frac{V}{y {(V - 1)}^{2}} + \frac{- V}{y}$

Schritt 6.1.1.3.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2} y} - \frac{V}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Stelle die Faktoren in $\frac{V^{3}}{{(V - 1)}^{2} y} - \frac{V}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$ um.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3}}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V^{3} - V}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.2.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.2.1.1

Faktorisiere $V$ aus $V^{3} - V$ heraus.

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Schritt 6.1.2.2.1.1.1

Faktorisiere $V$ aus $V^{3}$ heraus.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V \cdot V^{2} - V}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2.2.1.1.2

Faktorisiere $V$ aus $- V$ heraus.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V \cdot V^{2} + V \cdot - 1}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2.2.1.1.3

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot V^{2} + V \cdot - 1$ heraus.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V^{2} - 1)}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V^{2} - 1^{2})}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2.2.1.3

Faktorisiere.

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Schritt 6.1.2.2.1.3.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = V$ und $b = 1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V ((V + 1) (V - 1))}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2.2.1.3.2

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1) (V - 1)}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $V - 1$ und ${(V - 1)}^{2}$ .

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Schritt 6.1.2.2.2.1

Faktorisiere $V - 1$ aus $V (V + 1) (V - 1)$ heraus.

$\frac{d V}{d y} = \frac{(V - 1) (V (V + 1))}{y {(V - 1)}^{2}} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1.2.2.2.2.1

Faktorisiere $V - 1$ aus $y {(V - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{d V}{d y} = \frac{(V - 1) (V (V + 1))}{(V - 1) (y (V - 1))} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d V}{d y} = \frac{(V - 1) (V (V + 1))}{(V - 1) (y (V - 1))} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1)}{y (V - 1)} - \frac{V}{y}$

Schritt 6.1.2.3

Um $- \frac{V}{y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1)}{y (V - 1)} - \frac{V}{y} \cdot \frac{V - 1}{V - 1}$

Schritt 6.1.2.4

Mutltipliziere $\frac{V}{y}$ mit $\frac{V - 1}{V - 1}$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1)}{y (V - 1)} - \frac{V (V - 1)}{y (V - 1)}$

Schritt 6.1.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1) - V (V - 1)}{y (V - 1)}$

Schritt 6.1.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.2.6.1

Faktorisiere $V$ aus $V (V + 1) - V (V - 1)$ heraus.

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Schritt 6.1.2.6.1.1

Faktorisiere $V$ aus $- V (V - 1)$ heraus.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1) + V (- (V - 1))}{y (V - 1)}$

Schritt 6.1.2.6.1.2

Faktorisiere $V$ aus $V (V + 1) + V (- (V - 1))$ heraus.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1 - (V - 1))}{y (V - 1)}$

Schritt 6.1.2.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1 - V - - 1)}{y (V - 1)}$

Schritt 6.1.2.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (V + 1 - V + 1)}{y (V - 1)}$

Schritt 6.1.2.6.4

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (0 + 1 + 1)}{y (V - 1)}$

Schritt 6.1.2.6.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V (1 + 1)}{y (V - 1)}$

Schritt 6.1.2.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{V \cdot 2}{y (V - 1)}$

Schritt 6.1.2.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $V$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{2 \cdot V}{y (V - 1)}$

Schritt 6.1.2.8

Mutltipliziere $2$ mit $V$ .

$\frac{d V}{d y} = \frac{2 V}{y (V - 1)}$

Schritt 6.1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d y} = \frac{2 V}{V - 1} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 6.1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{V - 1}{2 V}$ .

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{V - 1}{2 V} (\frac{2 V}{V - 1} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 6.1.5

Vereinfache.

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Schritt 6.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{2 V}{V - 1}$ mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{V - 1}{2 V} \cdot \frac{2 V}{(V - 1) y}$

Schritt 6.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V - 1$ .

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Schritt 6.1.5.2.1

Faktorisiere $V - 1$ aus $(V - 1) y$ heraus.

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{V - 1}{2 V} \cdot \frac{2 V}{(V - 1) (y)}$

Schritt 6.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{V - 1}{2 V} \cdot \frac{2 V}{(V - 1) y}$

Schritt 6.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Schritt 6.1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 V$ .

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Schritt 6.1.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{2 V} \cdot \frac{2 V}{y}$

Schritt 6.1.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{V - 1}{2 V} \frac{d V}{d y} = \frac{1}{y}$

Schritt 6.1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{V - 1}{2 V} d V = \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{V - 1}{2 V} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{V - 1}{V} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.2.2

Dividiere $V - 1$ durch $V$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$V$

$0$

$V$

$1$

Schritt 6.2.2.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $V$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $V$ .

					$1$
	$V$	+	$0$		$V$	-	$1$

Schritt 6.2.2.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$V$	+	$0$		$V$	-	$1$
			+	$V$	+	$0$

Schritt 6.2.2.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $V + 0$

				$1$
$V$	+	$0$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$0$

Schritt 6.2.2.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$V$	+	$0$		$V$	-	$1$
			-	$V$	-	$0$
					-	$1$

Schritt 6.2.2.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{2} \int 1 - \frac{1}{V} d V = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int d V + \int - \frac{1}{V} d V) = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} + \int - \frac{1}{V} d V) = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - \int \frac{1}{V} d V) = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{V}$ nach $V$ ist $\ln (| V |)$ .

$\frac{1}{2} (V + C_{1} - (\ln (| V |) + C_{2})) = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.2.7

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (V - \ln (| V |)) + C_{3} = \int \frac{1}{y} d y$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\frac{1}{2} (V - \ln (| V |)) + C_{3} = \ln (| y |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} (V - \ln (| V |)) = \ln (| y |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x}{y} - \ln (| \frac{x}{y} |)) = \ln (| y |) + C$

Schritt 8

Löse $\frac{1}{2} (\frac{x}{y} - \ln (| \frac{x}{y} |)) = \ln (| y |) + C$ nach $x$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.1.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot (\frac{x}{y} - \ln (| \frac{x}{y} |))$ .

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Schritt 8.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y} + \frac{1}{2} (- \ln (| \frac{x}{y} |)) = \ln (| y |) + C$

Schritt 8.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{x}{y}$ .

$\frac{x}{2 y} + \frac{1}{2} (- \ln (| \frac{x}{y} |)) = \ln (| y |) + C$

Schritt 8.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| \frac{x}{y} |)$ .

$\frac{x}{2 y} - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} = \ln (| y |) + C$

Schritt 8.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{2 y} - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} = \ln (| y |) + C$ mit $2 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 8.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{2 y} - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} = \ln (| y |) + C$ mit $2 y$ .

$\frac{x}{2 y} (2 y) - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{x}{2 y} y - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Schritt 8.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$2 \frac{x}{2 (y)} y - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Schritt 8.2.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2 y} y - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Schritt 8.2.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x}{y} y - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Schritt 8.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 8.2.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{y} y - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Schritt 8.2.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x - \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Schritt 8.2.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.2.2.1.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| \frac{x}{y} |)}{2}$ in den Zähler.

$x + \frac{- \ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Schritt 8.2.2.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$x + \frac{- \ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 (y)) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Schritt 8.2.2.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + \frac{- \ln (| \frac{x}{y} |)}{2} (2 y) = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Schritt 8.2.2.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$x - \ln (| \frac{x}{y} |) y = \ln (| y |) (2 y) + C (2 y)$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x - \ln (| \frac{x}{y} |) y = 2 \ln (| y |) y + C (2 y)$

Schritt 8.2.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x - \ln (| \frac{x}{y} |) y = 2 \ln (| y |) y + 2 C y$

Schritt 8.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| \frac{x}{y} |) y - 2 \ln (| y |) y = - x + 2 C y$

Schritt 8.4

Stelle die Faktoren in $- \ln (| \frac{x}{y} |) y - 2 \ln (| y |) y$ um.

$- y \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 y \ln (| y |) = - x + 2 C y$

Schritt 8.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.5.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| y |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- y \ln (| \frac{x}{y} |) + y (- \ln ({| y |}^{2})) = - x + 2 C y$

Schritt 8.5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- y \ln (| \frac{x}{y} |) - y \ln ({| y |}^{2}) = - x + 2 C y$

Schritt 8.5.1.3

Entferne den Absolutwert in ${| y |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- y \ln (| \frac{x}{y} |) - y \ln (y^{2}) = - x + 2 C y$

Schritt 8.6

Subtrahiere $2 C y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y \ln (| \frac{x}{y} |) - y \ln (y^{2}) - 2 C y = - x$

Schritt 8.7

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (| \frac{x}{y} |) - y \ln (y^{2}) - 2 C y$ heraus.

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Schritt 8.7.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (| \frac{x}{y} |)$ heraus.

$y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) - y \ln (y^{2}) - 2 C y = - x$

Schritt 8.7.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (y^{2})$ heraus.

$y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 1 \ln (y^{2})) - 2 C y = - x$

Schritt 8.7.3

Faktorisiere $y$ aus $- 2 C y$ heraus.

$y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 1 \ln (y^{2})) + y (- 2 C) = - x$

Schritt 8.7.4

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 1 \ln (y^{2}))$ heraus.

$y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |) - 1 \ln (y^{2})) + y (- 2 C) = - x$

Schritt 8.7.5

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |) - 1 \ln (y^{2})) + y (- 2 C)$ heraus.

$y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |) - 1 \ln (y^{2}) - 2 C) = - x$

Schritt 8.8

Schreibe $- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)$ als $- \ln (| \frac{x}{y} |)$ um.

$y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - 1 \ln (y^{2}) - 2 C) = - x$

Schritt 8.9

Schreibe $- 1 \ln (y^{2})$ als $- \ln (y^{2})$ um.

$y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C) = - x$

Schritt 8.10

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C) = - x$ durch $- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C$ und vereinfache.

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Schritt 8.10.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C) = - x$ durch $- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C$ .

$\frac{y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C)}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C} = \frac{- x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Schritt 8.10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C$ .

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Schritt 8.10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C)}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C} = \frac{- x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Schritt 8.10.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Schritt 8.10.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.10.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Schritt 8.10.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (| \frac{x}{y} |)$ heraus.

$y = - \frac{x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Schritt 8.10.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (y^{2})$ heraus.

$y = - \frac{x}{- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2}) - 2 C}$

Schritt 8.10.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (| \frac{x}{y} |) - \ln (y^{2})$ heraus.

$y = - \frac{x}{- (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2})) - 2 C}$

Schritt 8.10.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 C$ heraus.

$y = - \frac{x}{- (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2})) - (2 C)}$

Schritt 8.10.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2})) - (2 C)$ heraus.

$y = - \frac{x}{- (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)}$

Schritt 8.10.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.10.3.7.1

Schreibe $- (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$ als $- 1 (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$ um.

$y = - \frac{x}{- 1 (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)}$

Schritt 8.10.3.7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C}$

Schritt 8.10.3.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C}$

Schritt 8.10.3.7.4

Mutltipliziere $\frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C}$ mit $1$ .

$y = \frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C}$

Schritt 8.11

Schreibe die Gleichung als $\frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C} = y$ um.

$\frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C} = y$

Schritt 8.12

Multipliziere beide Seiten mit $\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C$ .

$\frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C} (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C) = y (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$

Schritt 8.13

Vereinfache.

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Schritt 8.13.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.13.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C$ .

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Schritt 8.13.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C} (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C) = y (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$

Schritt 8.13.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = y (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$

Schritt 8.13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.13.2.1

Vereinfache $y (\ln (| \frac{x}{y} |) + \ln (y^{2}) + 2 C)$ .

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Schritt 8.13.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = y \ln (| \frac{x}{y} |) + y \ln (y^{2}) + y (2 C)$

Schritt 8.13.2.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.13.2.1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x = y \ln (| \frac{x}{y} |) + y \ln (y^{2}) + 2 y C$

Schritt 8.13.2.1.2.2

Bewege $y$ .

$x = y \ln (| \frac{x}{y} |) + y \ln (y^{2}) + 2 C y$

Schritt 8.13.2.1.2.3

Bewege $y \ln (| \frac{x}{y} |)$ .

$x = y \ln (y^{2}) + 2 C y + y \ln (| \frac{x}{y} |)$

Schritt 8.13.2.1.2.4

Stelle $y \ln (y^{2})$ und $2 C y$ um.

$x = 2 C y + y \ln (y^{2}) + y \ln (| \frac{x}{y} |)$

Schritt 8.14

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- y \ln (y^{2}) - y \ln (| \frac{x}{y} |) = - x + 2 C y$

Schritt 8.15

Subtrahiere $2 C y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y \ln (y^{2}) - y \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C y = - x$

Schritt 8.16

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (y^{2}) - y \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C y$ heraus.

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Schritt 8.16.1

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (y^{2})$ heraus.

$y (- 1 \ln (y^{2})) - y \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C y = - x$

Schritt 8.16.2

Faktorisiere $y$ aus $- y \ln (| \frac{x}{y} |)$ heraus.

$y (- 1 \ln (y^{2})) + y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) - 2 C y = - x$

Schritt 8.16.3

Faktorisiere $y$ aus $- 2 C y$ heraus.

$y (- 1 \ln (y^{2})) + y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 2 C) = - x$

Schritt 8.16.4

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 \ln (y^{2})) + y (- 1 \ln (| \frac{x}{y} |))$ heraus.

$y (- 1 \ln (y^{2}) - 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 2 C) = - x$

Schritt 8.16.5

Faktorisiere $y$ aus $y (- 1 \ln (y^{2}) - 1 \ln (| \frac{x}{y} |)) + y (- 2 C)$ heraus.

$y (- 1 \ln (y^{2}) - 1 \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C) = - x$

Schritt 8.17

Schreibe $- 1 \ln (y^{2})$ als $- \ln (y^{2})$ um.

$y (- \ln (y^{2}) - 1 \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C) = - x$

Schritt 8.18

Schreibe $- 1 \ln (| \frac{x}{y} |)$ als $- \ln (| \frac{x}{y} |)$ um.

$y (- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C) = - x$

Schritt 8.19

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C) = - x$ durch $- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C$ und vereinfache.

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Schritt 8.19.1

Teile jeden Ausdruck in $y (- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C) = - x$ durch $- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C$ .

$\frac{y (- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C)}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C} = \frac{- x}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C}$

Schritt 8.19.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.19.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C$ .

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Schritt 8.19.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C)}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C} = \frac{- x}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C}$

Schritt 8.19.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- x}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C}$

Schritt 8.19.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.19.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x}{- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |) - 2 C}$

Schritt 8.19.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \ln (y^{2}) - \ln (| \frac{x}{y} |)$ heraus.

$y = - \frac{x}{- (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |)) - 2 C}$

Schritt 8.19.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 C$ heraus.

$y = - \frac{x}{- (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |)) - (2 C)}$

Schritt 8.19.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |)) - (2 C)$ heraus.

$y = - \frac{x}{- (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C)}$

Schritt 8.19.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 8.19.3.5.1

Schreibe $- (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C)$ als $- 1 (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C)$ um.

$y = - \frac{x}{- 1 (\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C)}$

Schritt 8.19.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - - \frac{x}{\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C}$

Schritt 8.19.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = 1 \frac{x}{\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C}$

Schritt 8.19.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{x}{\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C}$ mit $1$ .

$y = \frac{x}{\ln (y^{2}) + \ln (| \frac{x}{y} |) + 2 C}$