Analysis Beispiele

$(x + y) \frac{d y}{d x} = 2 (x + y) + 1$

Schritt 1

Es sei $v = x + y$ . Ersetze $v$ für alle $x + y$ .

$v \frac{d y}{d x} = 2 v + 1$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $x + y$ .

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{d v}{d x} = 1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = 1 + y'$

Schritt 3

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

$v \frac{d v}{d x} - v = 2 v + 1$

Schritt 4

Separiere die Variablen.

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Schritt 4.1

Löse nach $\frac{d v}{d x}$ auf.

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Schritt 4.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d v}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1.1

Addiere $v$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$v \frac{d v}{d x} = 2 v + 1 + v$

Schritt 4.1.1.2

Addiere $2 v$ und $v$ .

$v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$

Schritt 4.1.2

Teile jeden Ausdruck in $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ durch $v$ und vereinfache.

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Schritt 4.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $v \frac{d v}{d x} = 3 v + 1$ durch $v$ .

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Schritt 4.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 4.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v \frac{d v}{d x}}{v} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Schritt 4.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d v}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Schritt 4.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $v$ .

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Schritt 4.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}$

Schritt 4.1.2.3.1.2

Dividiere $3$ durch $1$ .

$\frac{d v}{d x} = 3 + \frac{1}{v}$

Schritt 4.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{3 + \frac{1}{v}}$ .

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 + \frac{1}{v}$ .

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Schritt 4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} (3 + \frac{1}{v})$

Schritt 4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} \frac{d v}{d x} = 1$

Schritt 4.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = 1 d x$

Schritt 5

Integriere beide Seiten.

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Schritt 5.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{3 + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Schritt 5.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.1.1.1

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{v}{v}$ .

$\int \frac{1}{\frac{3 v}{v} + \frac{1}{v}} d v = \int d x$

Schritt 5.2.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\int \frac{1}{\frac{3 v + 1}{v}} d v = \int d x$

Schritt 5.2.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\int 1 \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Schritt 5.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{v}{3 v + 1}$ mit $1$ .

$\int \frac{v}{3 v + 1} d v = \int d x$

Schritt 5.2.2

Dividiere $v$ durch $3 v + 1$ .

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Schritt 5.2.2.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$3 v$

$1$

$v$

$0$

Schritt 5.2.2.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $v$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $3 v$ .

					$\frac{1}{3}$
	$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$

Schritt 5.2.2.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			+	$v$	+	$\frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $v + \frac{1}{3}$

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$\frac{1}{3}$
$3 v$	+	$1$		$v$	+	$0$
			-	$v$	-	$\frac{1}{3}$
					-	$\frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\int \frac{1}{3} - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Schritt 5.2.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{3} d v + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Schritt 5.2.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} v + C_{1} + \int - \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Schritt 5.2.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \int \frac{1}{3 (3 v + 1)} d v = \int d x$

Schritt 5.2.6

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $v$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - (\frac{1}{3} \int \frac{1}{3 v + 1} d v) = \int d x$

Schritt 5.2.7

Sei $u = 3 v + 1$ . Dann ist $d u = 3 d v$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d v$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.2.7.1

Es sei $u = 3 v + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d v}$ .

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Schritt 5.2.7.1.1

Differenziere $3 v + 1$ .

$\frac{d}{d v} [3 v + 1]$

Schritt 5.2.7.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 v + 1$ nach $v$ $\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$ .

$\frac{d}{d v} [3 v] + \frac{d}{d v} [1]$

Schritt 5.2.7.1.3

Berechne $\frac{d}{d v} [3 v]$ .

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Schritt 5.2.7.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $3 v$ nach $v$ gleich $3 \frac{d}{d v} [v]$ .

$3 \frac{d}{d v} [v] + \frac{d}{d v} [1]$

Schritt 5.2.7.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ gleich $n v^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [1]$

Schritt 5.2.7.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d v} [1]$

Schritt 5.2.7.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.2.7.1.4.1

Da $1$ konstant bezüglich $v$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $v$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 5.2.7.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 5.2.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{3} d u = \int d x$

Schritt 5.2.8

Vereinfache.

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Schritt 5.2.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u \cdot 3} d u = \int d x$

Schritt 5.2.8.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} \int \frac{1}{3 u} d u = \int d x$

Schritt 5.2.9

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Schritt 5.2.10

Vereinfache.

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Schritt 5.2.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Schritt 5.2.10.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Schritt 5.2.11

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{3} v + C_{1} - \frac{1}{9} (\ln (| u |) + C_{2}) = \int d x$

Schritt 5.2.12

Vereinfache.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = \int d x$

Schritt 5.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) + C_{3} = x + C_{4}$

Schritt 5.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} v - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Schritt 6

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $v$ .

$\frac{v}{3} - \frac{1}{9} \ln (| u |) = x + C$

Schritt 6.1.2

Multipliziere $- \frac{1}{9} \ln (| u |)$ .

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Schritt 6.1.2.1

Stelle $\ln (| u |)$ und $\frac{1}{9}$ um.

$\frac{v}{3} - (\frac{1}{9} \ln (| u |)) = x + C$

Schritt 6.1.2.2

Vereinfache $\frac{1}{9} \ln (| u |)$ , indem du $\frac{1}{9}$ in den Logarithmus ziehst.

$\frac{v}{3} - \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}) = x + C$

Schritt 6.2

Addiere $\ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{v}{3} = x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Schritt 6.3

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Schritt 6.4

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{v}{3} = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Schritt 6.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v = 3 (x + C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}}))$

Schritt 6.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.4.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = 3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$

Schritt 6.5

Vereinfache $3 x + 3 C + 3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ .

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Schritt 6.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1.1

Vereinfache $3 \ln ({| u |}^{\frac{1}{9}})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3})$

Schritt 6.5.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({| u |}^{\frac{1}{9}})}^{3}$ .

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Schritt 6.5.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{9} \cdot 3})$

Schritt 6.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.5.1.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 (3)} \cdot 3})$

Schritt 6.5.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3 \cdot 3} \cdot 3})$

Schritt 6.5.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v = 3 x + 3 C + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 6.5.2

Stelle $3 x$ und $3 C$ um.

$v = 3 C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 7

Vereinfache die Konstante der Integration.

$v = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 8

Ersetze alle $v$ durch $x + y$ .

$x + y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$

Schritt 9

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = C + 3 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}}) - x$

Schritt 9.2

Subtrahiere $x$ von $3 x$ .

$y = C + 2 x + \ln ({| u |}^{\frac{1}{3}})$