Analysis Beispiele

$\cos (x + y) d x + (3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = \cos (x + y)$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\cos (x + y)]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \cos (y)$ und $g (y) = x + y$ .

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Schritt 1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (u) \frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 1.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [x + y]$

Schritt 1.3

Differenziere.

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Schritt 1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 1.3.2

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 1.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y) \cdot 1$

Schritt 1.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \sin (x + y)$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Schritt 2.2.2

Da $3 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 y] + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Schritt 2.2.3

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\cos (x + y)]$ .

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \cos (x)$ und $g (x) = x + y$ .

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Schritt 2.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (u)$ nach $u$ ist $- \sin (u)$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.3.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) (1 + 0)$

Schritt 2.3.5

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y) \cdot 1$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 0 - \sin (x + y)$

Schritt 2.4

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.1

Addiere $0$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 - \sin (x + y)$

Schritt 2.4.2

Subtrahiere $\sin (x + y)$ von $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \sin (x + y)$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $- \sin (x + y)$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- \sin (x + y)$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$- \sin (x + y) = - \sin (x + y)$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \cos (x + y) d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = \cos (x + y)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Sei $u = x + y$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1.1

Es sei $u = x + y$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1.1

Differenziere $x + y$ .

$\frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 5.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 5.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 5.1.1.4

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$f (x, y) = \int \cos (u) d u$

Schritt 5.2

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$f (x, y) = \sin (u) + C$

Schritt 5.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$f (x, y) = \sin (x + y) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y) + g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sin (x + y) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\sin (x + y)] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\sin (x + y)]$ .

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Schritt 8.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = \sin (y)$ und $g (y) = x + y$ .

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Schritt 8.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8.3.1.2

Die Ableitung von $\sin (u)$ nach $u$ ist $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8.3.1.3

Ersetze alle $u$ durch $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d y} [x + y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8.3.3

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\cos (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\cos (x + y) (0 + 1) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8.3.5

Addiere $0$ und $1$ .

$\cos (x + y) \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $\cos (x + y)$ mit $1$ .

$\cos (x + y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$\cos (x + y) + \frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + \cos (x + y) = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y)$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $\cos (x + y)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 y^{2} + 2 y + \cos (x + y) - \cos (x + y)$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $\cos (x + y)$ von $\cos (x + y)$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $3 y^{2} + 2 y$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $3 y^{2} + 2 y$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} + 2 y$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 3 y^{2} + 2 y d y$

Schritt 10.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y d y$

Schritt 10.4

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$g (y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y d y$

Schritt 10.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y d y$

Schritt 10.6

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 \int y d y$

Schritt 10.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$g (y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 10.8

Vereinfache.

$g (y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 10.9

Vereinfache.

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Schritt 10.9.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 10.9.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 10.9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 10.9.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = 1 y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 10.9.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$g (y) = y^{3} + 2 (\frac{1}{2}) y^{2} + C$

Schritt 10.9.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.9.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 10.9.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = y^{3} + \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 10.9.5.2

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = y^{3} + 1 y^{2} + C$

Schritt 10.9.6

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$g (y) = y^{3} + y^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \sin (x + y) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \sin (x + y) + y^{3} + y^{2} + C$