Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = y \sin^{3} (t)$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $y \sin^{3} (t)$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y (\sin^{3} (t)))$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \sin^{3} (t))$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \sin^{3} (t)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = \sin^{3} (t) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \sin^{3} (t) d t$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{3} (t) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $\sin^{2} (t)$ aus.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \sin^{2} (t) \sin (t) d t$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\sin^{2} (t)$ in $1 - \cos^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) d t$

Schritt 2.3.3

Sei $u = \cos (t)$ . Dann ist $d u = - \sin (t) d t$ , folglich $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u = \cos (t)$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Schritt 2.3.3.1.2

Die Ableitung von $\cos (t)$ nach $t$ ist $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 + u^{2} d u$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - 1 d u + \int u^{2} d u$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \int u^{2} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + C_{2} + \frac{1}{3} u^{3} + C_{3}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = - u + \frac{1}{3} u^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $\cos (t)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \cos (t) + \frac{1}{3} \cos^{3} (t) + C_{4}$

Schritt 2.3.9

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = \frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{3} \cos^{3} (t) - \cos (t) + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$ um.

$| y | = e^{\frac{1}{3} \cdot \cos^{3} (t) - \cos (t) + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\cos^{3} (t)$ .

$| y | = e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t) + C}$ als $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $0$ für $t$ und $1$ für $y$ in $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ ersetzt wird.

$1 = C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)}$

Schritt 6

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$ um.

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - \cos (0)} = 1$

Schritt 6.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1 \cdot 1} = 1$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$C e^{\frac{\cos^{3} (0)}{3} - 1} = 1$

Schritt 6.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$C e^{\frac{1^{3}}{3} - 1} = 1$

Schritt 6.2.3.2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$C e^{\frac{1}{3} - 1} = 1$

Schritt 6.2.4

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$C e^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} = 1$

Schritt 6.2.5

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$C e^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} = 1$

Schritt 6.2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$C e^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} = 1$

Schritt 6.2.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$C e^{\frac{1 - 3}{3}} = 1$

Schritt 6.2.7.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$

Schritt 6.3

Teile jeden Ausdruck in $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ durch $e^{- \frac{2}{3}}$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $C e^{\frac{- 2}{3}} = 1$ durch $e^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{C e^{\frac{- 2}{3}}}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $e^{- \frac{2}{3}}$ aus $C e^{\frac{- 2}{3}}$ heraus.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- \frac{2}{3}} (C e^{\frac{0}{3}})}{e^{- \frac{2}{3}} \cdot 1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{C e^{\frac{0}{3}}}{1} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2.2.4

Dividiere $C e^{\frac{0}{3}}$ durch $1$ .

$C e^{\frac{0}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 6.3.2.3.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$C e^{\frac{3 (0)}{3}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.3.2.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$C e^{\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$C e^{\frac{0}{1}} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2.3.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$C e^{0} = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.3.2.4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$C \cdot 1 = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.2.4.2

Mutltipliziere $C$ mit $1$ .

$C = \frac{1}{e^{- \frac{2}{3}}}$

Schritt 6.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.3.1

Bringe $e^{- \frac{2}{3}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$C = e^{\frac{2}{3}}$

Schritt 7

Setze $e^{\frac{2}{3}}$ für $C$ in $y = C e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $C$ durch $e^{\frac{2}{3}}$ .

$y = e^{\frac{2}{3}} e^{\frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$

Schritt 7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = e^{\frac{2}{3} + \frac{\cos^{3} (t)}{3} - \cos (t)}$