Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{1 + x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + x^{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $x = \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ positiv ist.

$y + C_{1} = \int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.2

Vereinfache $\sqrt{1 + \tan^{2} (t)}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Ordne Terme um.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.2.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$y + C_{1} = \int \sqrt{\sec^{2} (t)} \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.2.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\sec (t)$ mit $\sec^{2} (t)$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{1} (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \int {\sec (t)}^{1 + 2} d t$

Schritt 2.3.3.2

Addiere $1$ und $2$ .

$y + C_{1} = \int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 2.3.4

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{3} (t)$ heraus.

$y + C_{1} = \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = \sec (t)$ und $d v = \sec^{2} (t)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t$

Schritt 2.3.6

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t$

Schritt 2.3.7

Potenziere $\tan (t)$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t$

Schritt 2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Schritt 2.3.9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.9.1

Addiere $1$ und $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 2.3.9.2

Stelle $\tan^{2} (t)$ und $\sec (t)$ um.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.10

Schreibe $\tan^{2} (t)$ in $- 1 + \sec^{2} (t)$ um unter Verwendung des trigonometrischen Pythagoras.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2.3.11

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.3.11.1

Schreibe die Potenz um als ein Produkt.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.3.11.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.3.11.3

Stelle $\sec (t)$ und $- 1$ um.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t$

Schritt 2.3.12

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t$

Schritt 2.3.13

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t$

Schritt 2.3.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t$

Schritt 2.3.15

Addiere $1$ und $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t$

Schritt 2.3.16

Potenziere $\sec (t)$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t$

Schritt 2.3.17

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t$

Schritt 2.3.18

Addiere $2$ und $1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t$

Schritt 2.3.19

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 2.3.20

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 2.3.21

Das Integral von $\sec (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) + \int \sec^{3} (t) d t)$

Schritt 2.3.22

Vereinfache durch Ausmultiplizieren.

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Schritt 2.3.22.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 2.3.22.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}) - \int \sec^{3} (t) d t$

Schritt 2.3.23

Wenn nach $\int \sec^{3} (t) d t$ aufgelöst wird, erhalten wir $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2})}{2} + C_{3}$

Schritt 2.3.24

Mutltipliziere $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C_{2}}{2} + C_{3}$

Schritt 2.3.25

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C_{4}$

Schritt 2.3.26

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (x)$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \frac{1}{2} (\sec (\arctan (x)) \tan (\arctan (x)) + \ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |)) + C$