Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x - 2 y \cot (2 x)$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Addiere $2 y \cot (2 x)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} + 2 y \cot (2 x) = x$

Schritt 1.2

Faktorisiere $y$ aus $2 y \cot (2 x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y (2 \cot (2 x)) = x$

Schritt 1.3

Stelle $y$ und $2 \cot (2 x)$ um.

$\frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) y = x$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = 2 \cot (2 x)$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 2 \cot (2 x) d x}$

Schritt 2.2

Integriere $2 \cot (2 x)$ .

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Schritt 2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$e^{2 \int \cot (2 x) d x}$

Schritt 2.2.2

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.2.2.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.2.2.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2.2.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 2.2.2.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{2 \int \cot (u) \frac{1}{2} d u}$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $\cot (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{2 \int \frac{\cot (u)}{2} d u}$

Schritt 2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{2 (\frac{1}{2} \int \cot (u) d u)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Schritt 2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2}{2} \int \cot (u) d u}$

Schritt 2.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1 \int \cot (u) d u}$

Schritt 2.2.5.3

Mutltipliziere $\int \cot (u) d u$ mit $1$ .

$e^{\int \cot (u) d u}$

Schritt 2.2.6

Das Integral von $\cot (u)$ nach $u$ ist $\ln (| \sin (u) |)$ .

$e^{\ln (| \sin (u) |) + C}$

Schritt 2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$e^{\ln (| \sin (2 x) |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{\ln (\sin (2 x))}$

Schritt 2.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$\sin (2 x)$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sin (2 x)$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x) y) = \sin (2 x) x$

Schritt 3.2

Schreibe mithilfe von Sinus und Kosinus um, kürze dann die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Versetze die Klammern.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + \sin (2 x) (2 \cot (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Schritt 3.2.2

Stelle $\sin (2 x)$ und $2 \cot (2 x)$ um.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cot (2 x) \sin (2 x) y = \sin (2 x) x$

Schritt 3.2.3

Füge Klammern hinzu.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\cot (2 x) \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Schritt 3.2.4

Schreibe $\sin (2 x) (2 \cot (2 x) y)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 (\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sin (2 x)) y = \sin (2 x) x$

Schritt 3.2.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren in $\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 \cos (2 x) y = \sin (2 x) x$ um.

$\sin (2 x) \frac{d y}{d x} + 2 y \cos (2 x) = x \sin (2 x)$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] = x \sin (2 x)$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\sin (2 x) y] d x = \int x \sin (2 x) d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\sin (2 x) y = \int x \sin (2 x) d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x$ und $d v = \sin (2 x)$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{1}{2} \cos (2 x)) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = x (- \frac{\cos (2 x)}{2}) - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{\cos (2 x)}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - \int - \frac{1}{2} \cos (2 x) d x$

Schritt 7.3

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- \frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} - (- \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 7.4

Vereinfache.

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Schritt 7.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + 1 (\frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x)$

Schritt 7.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (2 x) d x$

Schritt 7.5

Sei $u = 2 x$ . Dann ist $d u = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 7.5.1

Es sei $u = 2 x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 7.5.1.1

Differenziere $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 7.5.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 7.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 7.5.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 7.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Schritt 7.6

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Schritt 7.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Schritt 7.8

Vereinfache.

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Schritt 7.8.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} \int \cos (u) d u$

Schritt 7.8.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} \int \cos (u) d u$

Schritt 7.9

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$

Schritt 7.10

Vereinfache.

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Schritt 7.10.1

Schreibe $- \frac{x \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} (\sin (u) + C)$ als $- \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$ um.

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Schritt 7.10.2

Vereinfache.

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Schritt 7.10.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Schritt 7.10.2.2

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (u) + C$

Schritt 7.11

Ersetze alle $u$ durch $2 x$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Schritt 7.12

Stelle die Faktoren in $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ um.

$\sin (2 x) y = - \frac{1}{2} x \cos (2 x) + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Vereinfache.

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Schritt 8.1.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{x}{2} \cdot \cos (2 x) + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Schritt 8.1.2

Kombiniere $\cos (2 x)$ und $\frac{x}{2}$ .

$\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$

Schritt 8.2

Teile jeden Ausdruck in $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ durch $\sin (2 x)$ und vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Teile jeden Ausdruck in $\sin (2 x) y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} \cdot \sin (2 x) + C$ durch $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 8.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (2 x) y}{\sin (2 x)} = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (2 x) x}{2}}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.3.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.2.3.1.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 x)}$ nach $\csc (2 x)$ um.

$y = - \frac{\cos (2 x) x}{2} \csc (2 x) + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.2.3.1.3

Kombiniere $\csc (2 x)$ und $\frac{\cos (2 x) x}{2}$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) (\cos (2 x) x)}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (2 x)$ .

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Schritt 8.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{\frac{1}{4} \cdot \sin (2 x)}{\sin (2 x)} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.2.3.1.4.2

Dividiere $\frac{1}{4}$ durch $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.2.3.1.5

Separiere Brüche.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}$

Schritt 8.2.3.1.6

Wandle von $\frac{1}{\sin (2 x)}$ nach $\csc (2 x)$ um.

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + \frac{C}{1} \csc (2 x)$

Schritt 8.2.3.1.7

Dividiere $C$ durch $1$ .

$y = - \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$

Schritt 8.2.3.2

Stelle die Faktoren in $- \frac{\csc (2 x) \cos (2 x) x}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$ um.

$y = - \frac{x \csc (2 x) \cos (2 x)}{2} + \frac{1}{4} + C \csc (2 x)$