Analysis Beispiele

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y = x$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $(x^{2} - 1) y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2} - 1$ und $g (x) = y$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$(x^{2} - 1) y' + y \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Schritt 1.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Schritt 1.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x + 0)$

Schritt 1.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$(x^{2} - 1) y' + y (2 x)$

Schritt 1.7

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y (2 x)$

Schritt 1.8

Entferne die Klammern.

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + y \cdot 2 x$

Schritt 1.9

Bewege $y$ .

$(x^{2} - 1) \frac{d y}{d x} + 2 x y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] = x$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [(x^{2} - 1) y] d x = \int x d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$(x^{2} - 1) y = \int x d x$

Schritt 5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$

Schritt 6

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $x^{2} - 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.1

Teile jeden Ausdruck in $(x^{2} - 1) y = \frac{1}{2} x^{2} + C$ durch $x^{2} - 1$ .

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 1$ .

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Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 1) y}{x^{2} - 1} = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{1}{2} x^{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.3.1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{\frac{x^{2}}{2}}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.3.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.3.1.4

Kombinieren.

$y = \frac{x^{2} \cdot 1}{2 ((x + 1) (x - 1))} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.3.1.5

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1}$

Schritt 6.3.1.6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.1.6.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{x^{2} - 1^{2}}$

Schritt 6.3.1.6.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$y = \frac{x^{2}}{2 (x + 1) (x - 1)} + \frac{C}{(x + 1) (x - 1)}$