Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (y) - \ln (x) + 1)}{x}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$

Schritt 1.2

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ aus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y (\ln (\frac{y}{x}) + 1)}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} (\ln (\frac{y}{x}) + 1)$

Schritt 1.2.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\ln (\frac{y}{x}) + 1$ um.

$\frac{d y}{d x} = (\ln (\frac{y}{x}) + 1) \frac{y}{x}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = (\ln (V) + 1) V$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache $(\ln (V) + 1) V$ .

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Schritt 6.1.1.1.1

Forme um.

$x \frac{d V}{d x} + V = 0 + 0 + (\ln (V) + 1) V$

Schritt 6.1.1.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$x \frac{d V}{d x} + V = (\ln (V) + 1) V$

Schritt 6.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + 1 V$

Schritt 6.1.1.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1.1.1.4.1

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \ln (V) V + V$

Schritt 6.1.1.1.4.2

Stelle die Faktoren in $\ln (V) V + V$ um.

$x \frac{d V}{d x} + V = V \ln (V) + V$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + V - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V \ln (V) + V - V$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V) + 0$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Addiere $V \ln (V)$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = V \ln (V)$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \ln (V)}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{V \ln (V)}$ .

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V \ln (V)$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V \ln (V)} \cdot \frac{V \ln (V)}{x}$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{V \ln (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{V \ln (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{V \ln (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Sei $u = \ln (V)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{V} d V$ , folglich $V d u = d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Es sei $u = \ln (V)$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Differenziere $\ln (V)$ .

$\frac{d}{d V} [\ln (V)]$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Die Ableitung von $\ln (V)$ nach $V$ ist $\frac{1}{V}$ .

$\frac{1}{V}$

Schritt 6.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\ln (V)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| \ln (V) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| \ln (V) |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \ln (V) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 6.3.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$

Schritt 6.3.3

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |})} = e^{C}$

Schritt 6.3.4

Schreibe $\ln (\frac{| \ln (V) |}{| x |}) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| \ln (V) |}{| x |}$

Schritt 6.3.5

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.5.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$ um.

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} = e^{C}$

Schritt 6.3.5.2

Multipliziere beide Seiten mit $| x |$ .

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 6.3.5.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 6.3.5.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| \ln (V) |}{| x |} | x | = e^{C} | x |$

Schritt 6.3.5.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| \ln (V) | = e^{C} | x |$

Schritt 6.3.5.4

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.5.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{C} | x |$ um.

$| \ln (V) | = | x | e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$\ln (V) = \pm | x | e^{C}$

Schritt 6.3.5.4.3

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (V)} = e^{\pm | x | e^{C}}$

Schritt 6.3.5.4.4

Schreibe $\ln (V) = \pm | x | e^{C}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\pm | x | e^{C}} = V$

Schritt 6.3.5.4.5

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.5.4.5.1

Schreibe die Gleichung als $V = e^{\pm | x | e^{C}}$ um.

$V = e^{\pm | x | e^{C}}$

Schritt 6.3.5.4.5.2

Stelle die Faktoren in $e^{\pm | x | e^{C}}$ um.

$V = e^{\pm e^{C} | x |}$

Schritt 6.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = e^{\pm C | x |}$

Schritt 6.4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = e^{C | x |}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = e^{C | x |}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = e^{C | x |}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = e^{C | x |} x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = e^{C | x |} x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{C | x |} x$ um.

$y = x e^{C | x |}$