Analysis Beispiele

$x (1 - y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(x \cdot 1 + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(x + x (- y)) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Schritt 1.1.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(x - x y) \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Schritt 1.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + (1 - x) y = 0$

Schritt 1.1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + 1 y - x y = 0$

Schritt 1.1.1.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} + y - x y = 0$

Schritt 1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.2.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} - x y = - y$

Schritt 1.1.2.2

Addiere $x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $x \frac{d y}{d x}$ aus $x \frac{d y}{d x} - x y \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $x \frac{d y}{d x}$ aus $x \frac{d y}{d x}$ heraus.

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 - x y \frac{d y}{d x} = - y + x y$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $x \frac{d y}{d x}$ aus $- x y \frac{d y}{d x}$ heraus.

$x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y) = - y + x y$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $x \frac{d y}{d x}$ aus $x \frac{d y}{d x} \cdot 1 + x \frac{d y}{d x} (- 1 y)$ heraus.

$x \frac{d y}{d x} (1 - 1 y) = - y + x y$

Schritt 1.1.4

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

$x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$

Schritt 1.1.5

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ durch $x (1 - y)$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} (1 - y) = - y + x y$ durch $x (1 - y)$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x} (1 - y)}{x (1 - y)} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y$ .

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Schritt 1.1.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (1 - y)}{1 - y} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.2.2.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.5.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{x y}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y}$

Schritt 1.1.5.3.2

Um $\frac{y}{1 - y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{x}{x}$

Schritt 1.1.5.3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $x (1 - y)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 1.1.5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{y}{1 - y}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{(1 - y) x}$

Schritt 1.1.5.3.3.2

Stelle die Faktoren von $(1 - y) x$ um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x (1 - y)} + \frac{y x}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- y + y x}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.3.5

Faktorisiere $y$ aus $- y + y x$ heraus.

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Schritt 1.1.5.3.5.1

Faktorisiere $y$ aus $- y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y x}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.3.5.2

Faktorisiere $y$ aus $y x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot - 1 + y (x)}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot - 1 + y (x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 + x)}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.3.6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) + x)}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1) - 1 (- x))}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.3.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - 1 (- x)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (- 1 (1 - x))}{x (1 - y)}$

Schritt 1.1.5.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (1 - x)}{x (1 - y)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1 - y}{y}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - y}{y} (- \frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} (\frac{y}{1 - y} \cdot \frac{1 - x}{x})$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\frac{y}{1 - y}$ mit $\frac{1 - x}{x}$ .

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - y}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Schritt 1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - y$ .

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Schritt 1.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1 - y}{y}$ in den Zähler.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- (1 - y)}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Schritt 1.4.3.2

Faktorisiere $1 - y$ aus $- (1 - y)$ heraus.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Schritt 1.4.3.3

Faktorisiere $1 - y$ aus $(1 - y) x$ heraus.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) (x)}$

Schritt 1.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y) \cdot - 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{(1 - y) x}$

Schritt 1.4.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Schritt 1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{- 1}{y} \cdot \frac{y (1 - x)}{x}$

Schritt 1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - y}{y} \frac{d y}{d x} = - \frac{1 - x}{x}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1 - x}{x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Schritt 2.2.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Schritt 2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Schritt 2.2.3.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Schritt 2.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Schritt 2.2.6

Vereinfache.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Schritt 2.2.7

Stelle die Terme um.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{1 - x}{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{1 - x}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Stelle $1$ und $- x$ um.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{- x + 1}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Dividiere $- x + 1$ durch $x$ .

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Schritt 2.3.3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$x$

$1$

Schritt 2.3.3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				-	$1$
	$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$

Schritt 2.3.3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			-	$x$	+	$0$

Schritt 2.3.3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- x + 0$

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$

Schritt 2.3.3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

			-	$1$
$x$	+	$0$	-	$x$	+	$1$
			+	$x$	-	$0$
					+	$1$

Schritt 2.3.3.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int - 1 + \frac{1}{x} d x$

Schritt 2.3.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int - 1 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.5

Wende die Konstantenregel an.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + C_{4} + \ln (| x |) + C_{5})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (- x + \ln (| x |)) + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- y + \ln (| y |) = - (- x + \ln (| x |)) + C$