Analysis Beispiele

$2 x y \frac{d y}{d x} + y^{2} - 2 x = 0$

Schritt 1

Es sei $v = y^{2}$ . Ersetze $v$ für alle $y^{2}$ .

$2 x y \frac{d y}{d x} + v - 2 x = 0$

Schritt 2

Finde $\frac{d v}{d x}$ durch Differenzierung von $y^{2}$ .

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 u \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$\frac{d v}{d x} = 2 y \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$\frac{d v}{d x} = 2 y y'$

Schritt 3

Setze die Ableitung wieder in die Differentialgleichung ein.

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Schritt 3.1

Faktorisiere $2 y$ aus $2 x y$ heraus.

$2 y (x) \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 y x \frac{\frac{d v}{d x}}{2 y} + v - 2 x = 0$

Schritt 3.3

Forme den Ausdruck um.

$x \frac{d v}{d x} + v - 2 x = 0$

Schritt 4

Addiere $2 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d v}{d x} + v = 2 x$

Schritt 5

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x v$ ist.

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Schritt 5.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = v$ .

$x \frac{d}{d x} [v] + v \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$x v' + v \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x v' + v \cdot 1$

Schritt 5.4

Ersetze $v'$ durch $\frac{d v}{d x}$ .

$x \frac{d v}{d x} + v \cdot 1$

Schritt 5.5

Stelle $v$ und $1$ um.

$x \frac{d v}{d x} + 1 \cdot v$

Schritt 5.6

Mutltipliziere $v$ mit $1$ .

$x \frac{d v}{d x} + v$

Schritt 6

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x v] = 2 x$

Schritt 7

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x v] d x = \int 2 x d x$

Schritt 8

Integriere die linke Seite.

$x v = \int 2 x d x$

Schritt 9

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 9.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$x v = 2 \int x d x$

Schritt 9.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$x v = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 9.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$x v = 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 9.3.2

Vereinfache.

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Schritt 9.3.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x v = \frac{2}{2} x^{2} + C$

Schritt 9.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$x v = 1 x^{2} + C$

Schritt 9.3.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x v = x^{2} + C$

Schritt 10

Teile jeden Ausdruck in $x v = x^{2} + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 10.1

Teile jeden Ausdruck in $x v = x^{2} + C$ durch $x$ .

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x v}{x} = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 10.2.1.2

Dividiere $v$ durch $1$ .

$v = \frac{x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 10.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 10.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$v = \frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 10.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.3.1.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$v = \frac{x \cdot x}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Schritt 10.3.1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 10.3.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Schritt 10.3.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{x}{1} + \frac{C}{x}$

Schritt 10.3.1.2.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$v = x + \frac{C}{x}$

Schritt 11

Ersetze alle $v$ durch $y^{2}$ .

$y^{2} = x + \frac{C}{x}$

Schritt 12

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 12.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$

Schritt 12.2

Vereinfache $\pm \sqrt{x + \frac{C}{x}}$ .

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Schritt 12.2.1

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x}{x} + \frac{C}{x}}$

Schritt 12.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{\frac{x \cdot x + C}{x}}$

Schritt 12.2.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$

Schritt 12.2.4

Schreibe $\sqrt{\frac{x^{2} + C}{x}}$ als $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$

Schritt 12.2.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 12.2.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 12.2.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{x^{2} + C}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 12.2.6.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Schritt 12.2.6.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Schritt 12.2.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 12.2.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 12.2.6.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 12.2.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 12.2.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 12.2.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.2.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.2.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 12.2.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Schritt 12.2.6.6.5

Vereinfache.

$y = \pm \frac{\sqrt{x^{2} + C} \sqrt{x}}{x}$

Schritt 12.2.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$

Schritt 12.2.8

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(x^{2} + C) x}}{x}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Schritt 12.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 12.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Schritt 12.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

Schritt 12.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt{x (x^{2} + C)}}{x}$