Analysis Beispiele

$\frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{1}{N} (2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \frac{1}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{N}$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} ((1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N)$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $N$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $N$ aus $(1 - \cos (\frac{2 π t}{24})) N$ heraus.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = \frac{2}{N} (N (1 - \cos (\frac{2 π t}{24})))$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 π t}{24}))$

Schritt 1.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $24$ .

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Schritt 1.2.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 π t$ heraus.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{24}))$

Schritt 1.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $24$ heraus.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

Schritt 1.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{2 (π t)}{2 \cdot 12}))$

Schritt 1.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 (1 - \cos (\frac{π t}{12}))$

Schritt 1.2.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 \cdot 1 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 + 2 (- \cos (\frac{π t}{12}))$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{N} \frac{d N}{d t} = 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{N} d N = (2 - 2 \cos (\frac{π t}{12})) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{N} d N = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{N}$ nach $N$ ist $\ln (| N |)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| N |) + C_{1} = \int 2 d t + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Schritt 2.3.2

Wende die Konstantenregel an.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \int - 2 \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Schritt 2.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (\frac{π t}{12}) d t$

Schritt 2.3.4

Sei $u = \frac{π t}{12}$ . Dann ist $d u = \frac{π}{12} d t$ , folglich $\frac{12}{π} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.4.1

Es sei $u = \frac{π t}{12}$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.3.4.1.1

Differenziere $\frac{π t}{12}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{π t}{12}]$

Schritt 2.3.4.1.2

Da $\frac{π}{12}$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $\frac{π t}{12}$ nach $t$ gleich $\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{π}{12} \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.3.4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{π}{12} \cdot 1$

Schritt 2.3.4.1.4

Mutltipliziere $\frac{π}{12}$ mit $1$ .

$\frac{π}{12}$

Schritt 2.3.4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{1}{\frac{π}{12}} d u$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{π}{12}$ zu dividieren.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) (1 \frac{12}{π}) d u$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $\frac{12}{π}$ mit $1$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \cos (u) \frac{12}{π} d u$

Schritt 2.3.5.3

Kombiniere $\cos (u)$ und $\frac{12}{π}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{\cos (u) \cdot 12}{π} d u$

Schritt 2.3.5.4

Bringe $12$ auf die linke Seite von $\cos (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 \int \frac{12 \cos (u)}{π} d u$

Schritt 2.3.6

Da $\frac{12}{π}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{12}{π}$ aus dem Integral.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - 2 (\frac{12}{π} \int \cos (u) d u)$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{12}{π}$ und $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{12 \cdot - 2}{π} \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.7.2

Mutltipliziere $12$ mit $- 2$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} + \frac{- 24}{π} \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.7.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} \int \cos (u) d u$

Schritt 2.3.8

Das Integral von $\cos (u)$ nach $u$ ist $\sin (u)$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t + C_{2} - \frac{24}{π} (\sin (u) + C_{3})$

Schritt 2.3.9

Vereinfache.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (u) + C_{4}$

Schritt 2.3.10

Ersetze alle $u$ durch $\frac{π t}{12}$ .

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π t}{12}) + C_{4}$

Schritt 2.3.11

Stelle die Terme um.

$\ln (| N |) + C_{1} = 2 t - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + C_{4}$

Schritt 2.3.12

Stelle die Terme um.

$\ln (| N |) + C_{1} = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$

Schritt 3

Löse nach $N$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $N$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| N |)} = e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| N |) = - \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{24}{π} \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C} = | N |$

Schritt 3.3

Löse nach $N$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$ um.

$| N | = e^{- \frac{24}{π} \cdot \sin (\frac{π}{12} t) + 2 t + C}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1

Kombiniere $\sin (\frac{π}{12} t)$ und $\frac{24}{π}$ .

$| N | = e^{- \frac{\sin (\frac{π}{12} t) \cdot 24}{π} + 2 t + C}$

Schritt 3.3.2.2

Bringe $24$ auf die linke Seite von $\sin (\frac{π}{12} t)$ .

$| N | = e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t + C}$ als $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$ um.

$N = \pm e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$ und $e^{C}$ um.

$N = \pm e^{C} e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$N = C e^{- \frac{24 \sin (\frac{π}{12} t)}{π} + 2 t}$